Exercices de Colles - Niveau MPSI Emeric Bouin 23 mai 2011 1 Raisonnements, que

Exercices de Colles - Niveau MPSI Emeric Bouin 23 mai 2011 1 Raisonnements, quelques bribes de logique et de polynômes. Exercice 1. Loi de de Morgan. Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Montrer que A ∪B = A ∩B. Exercice 2. Résoudre ( µx + 2y = ν 3x + 4y = 2 selon (µ, ν) ∈R2 et en donner une interprétation gra- phique. Exercice 3. Montrer les équivalences suivantes : A ⊂B ⇐ ⇒A ∪B = B, A = B ⇐ ⇒A ∪B = A ∩B. Exercice 4. Soient A et B des parties d’un ensemble E, résoudre A ∪X = B, d’inconnue X. Exercice 5. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers. Exercice 6. Montrer : ∀n ∈N∗, ∃(p, q) ∈N2| n = 2p · (2q + 1). Exercice 7. Trouver l’ensemble des fonctions f continues sur R et telles que f(0) = 1, qui vérifient ∀x ∈R, f(2x) = f(x) · cos(x). Exercice 8. Trouver tous les polynômes P de R[X] vérifiant P = P ◦P. Exercice 9. On définit la suite de polynômes suivante : ∀n ∈N, Pn+2 = X.Pn+1 −Pn, P0 = 2, P1 = X. 1. Donner le degré de Pn ainsi que son coefficient dominant. 2. Montrer l’égalité suivante : Pn z + 1 z  = zn + 1 zn 3. En déduire une expression de Pn (2 · cos(θ)) pour θ réel, ainsi que les racines de Pn. Exercice 10. Trouver tous les polynômes réels P qui divisent leur polynôme dérivé. Exercice 11. Soient x, y, z ∈C∗tels que x + y + z = 0. Montrer que : 1 x2 + 1 y2 + 1 z2 = 1 x + 1 y + 1 z 2 . 1 2 Injectivité, surjectivité, bijectivité. Exercice 12. Soit E un ensemble, A, B, deux parties de E. Soit : Φ :  P(E) − → P(A) × P(B) X 7− → (X ∩A, X ∩B)  . Etudier la surjectivité, l’injectivité, la bijectivité de Φ. Exercice 13. Soit E un ensemble, f : E − →E telle que f ◦f ◦f = f. Montrer que f est injective si et seulement si elle est surjective. Exercice 14. Soit E un ensemble et f une application de E dans E. Montrer que f est bijective si et seulement si pour toute partie A de E, f(A) = f(A). 3 Nombres complexes. Exercice 15. Le but de l’exercice est de montrer que le réel α := arccos 1 3  π est irrationnel. 1. Calculer exp (iαπ). 2. Montrer que α est rationnel si et seulement si il existe n ∈N∗tel que 1 + 2i √ 2 n = 3n. 3. Montrer que 1 + 2i √ 2 n = an + ibn √ 2 où an et bn sont des entiers tels que an −bn ̸≡0 mod 3. 4. Conclure. Exercice 16. Soit f la fonction définie par : f :  C \ {i} − → C \ {1} z 7− → z+i z−i  . 1. Montrer que f est bijective. 2. Décrire les ensembles f(R), f(U \ {i}) et f(iR \ {i}). Exercice 17. Soit n, p ∈N∗et Un le groupe des racines nièmes de l’unité. 1. Calculer P x∈Un xp. 2. Soit P un polynôme complexe de degré inférieur ou égal à n−1, et M := maxx∈Un | P(x) |. Montrer que tous les coefficients de P sont en module bornés par M. Exercice 18. Soit z ∈C et p, q ses racines carrées. Donner une condition pour que les points d’affixes z, p et q forment un triangle rectangle en z. Exercice 19. Donner la forme cartésienne de  1 √ 2 (1 + i) 2009 . Exercice 20. Soit A d’affixe a, B d’affixe b, et z ∈C. Donner l’affixe du symétrique de z par rapport à la droite (AB). 2 4 Trigonométrie, sommes. Exercice 21. Résoudre cos(x) + cos(3x) = 0, linéariser cos4(x). Exercice 22. Calculer cotan(x) −2cotan(2x) et en déduire n X k=0 1 2k tan  θ 2k  . Etudier la conver- gence lorsque n tend vers +∞à θ fixé. Exercice 23. Montrer que la courbe représentative de x − →a · cos(x) + b · sin(x) se déduit des courbes représentatives de x − →cos(x) et x − →sin(x) par des transformations géométriques que l’on précisera. Exercice 24. Soit θ ∈R, exprimer Ak = 1 cos(kθ) · cos((k + 1)θ) sous forme d’une somme, en déduire n X k=1 Ak et sa limite éventuelle. Exercice 25. Calculer n X k=1 arctan  1 p2 + p + 1  . Exercice 26. Montrer que lim n→∞ n X k=0 (−1)k 2k + 1 = π 4 en s’aidant du calcul de Z 1 0 tpdt pour p ≥0. Exercice 27. Résoudre cos4(x) + sin4(x) = 1 sur R. 5 Arithmétique. Exercice 28. Montrer que ∀n ∈Z, n(n + 1)(7n + 2) est divisible par 6. Même chose pour n(n + 1)(8n + 1). Exercice 29. Soient a, b ∈N∗premiers entre eux tels que ab est un carré parfait. Montrer que a et b le sont aussi. Que dire si a et b ne sont plus premier entre eux ? Exercice 30. Soit n ∈N∗, montrer qu’il existe n entiers consécutifs non premiers. Exercice 31. Nombres de Mersenne. 1. Montrer que ap −1 est premier seulement si p ∈P et a = 2. 2. On pose alors Mp = 2p −1, montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers. Exercice 32. Nombres de Fermat. 1. Montrer que 2n + 1 est premier seulement si n est une puissance de 2. 2. On pose Fn = 22n + 1, montrer que eux tels nombres distincts sont premiers entre eux. 3. En déduire l’infinité des nombres premiers. Exercice 33. Trouver le chiffres des unités de 7777 . Exercice 34. Montrer que ∀n ∈N, 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7. Exercice 35. Soit n ∈N, n ≥2. Montrer que si N est la somme de n entiers impairs consécutifs, alors N n’est pas premier. 3 Exercice 36. Trouver les (x, y) ∈Z2 tels que PPCM(x, y) + 11 · PGCD(x, y) = 203. Exercice 37. Résoudre dans (N∗)2 le système suivant : ( PGCD(x, y) = 5 PPCM(x, y) = 60 . Exercice 38. Triplets Pythagoriciens. Résoudre dans Z3 l’équation suivante : x2 + y2 = z2. 6 Fonctions usuelles, calculs de primitives. Exercice 39. Soit n ∈N∗. On désire déterminer la primitive sur R s’annulant en 0 de la fonction fn : x 7→ 1 (1+x2)n . 1. Justifier l’existence et l’unicité de la fonction cherchée. Celle-ci est désormais notée Fn. 2. Calculer F1(x). 3. En procédant au changement de variable x = tan θ, déterminer F2(x). 4. En s’aidant d’une intégration par parties, former une relation de récurrence entre Fn+1(x) et Fn(x). 5. Calculer F3(x). Exercice 40. Déterminer une primitive des expressions proposées en indiquant l’ensemble de validité : x5 1 + x12 , 1 x(x2 −1), x + 1 x2 −x + 1, 1 x2 −2x + 2, x x2 + 2x + 2, 1 x(x2 + 1), 1 x3 + 1, x x3 −1, x4 + 1 x4 −1, 1 x4 + x2 + 1, 1 (x2 + x + 1)2 , 1 x4 + 1. Exercice 41. Déterminer une primitive sur R de la fonction x 7→ 1 3 + cos x. Exercice 42. Calculer les intégrales suivantes : Z 3 1 dx √x(x + 3), Z 2 0 dx √x + 1(x + 4), Z 1 −1 dx √1 + x + √1 −x. Exercice 43. Soit λ ∈C\R, a = Re(λ) et b = Im(λ). Etablir : Z dt t −λ = ln |t −λ| + i. arctan t −a b  + Cte. En déduire lim t→∞ Z t −t 1 1 + x4 dx. 4 Exercice 44. Intégrales de Wallis. Calculer ∀n ∈N, Wn = Z π 2 0 cosn(t)dt. Exercice 45. Montrer que ∀x ∈R, arctan x + arctan 1 x = π 2 · sgn(x). Exercice 46. Proposer une primitive pour les fonctions suivantes, en précisant les intervalles de définition : 1. 1 (x3−1)2 . 2. x2+x+1 x3−2x−4. 3. 1 sin(x) sin(4x). 7 Equations différentielles. Exercice 47. Faire une étude qualitative détaillée de ¨ y = −sin(y). On se basera sur le pendule simple pour expliquer la provenance de l’équation et interpréter les différents cas. Exercice 48. Entrelacement des zéros 1. Soient r et q deux fonctions continues sur [a, b] et telles que r ≤q. On considère y, solution de y” + ry = 0, et z, solution de y” + qy = 0. Montrer que les zéros de y et z sont entrelaçés. Exercice 49. Entrelacement des zéros 2. Soit λ > 0 et a ∈R. Montrer que toute solution de y” + (1 + λ t2 )y = 0 admet un zéro dans ]a, a + π[. Exercice 50. Déterminer les fonctions f : [0, 1] →R uploads/s3/ collesmpsi-sans-corriges.pdf

Tags
Administrationexercice montrer soient trouver donner
Documents similaires
  • 39
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager