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Avec les corrigés! Mathématiques Seconde générale 2021-2022 Une année d’évaluat

Avec les corrigés! Mathématiques Seconde générale 2021-2022 Une année d’évaluation! Une année d’évaluation! SOMMAIRE Évaluation 1 Calculs (numérique et littéral) - Problème optimisation Évaluation 2 Valeurs approchées - Intervalles - Programme de calcul et fonction - Problème optimisation Évaluation 3 (Bilan trimestre 1) Vecteurs (géométrie) - Python - Ecriture scientifique - Puissances - Fonction Évaluation 4 Fonctions affines Évaluation 5 Racines carrées - Équations et inéquations - Fonction carré - Problème optimisation Évaluation 6 (Bilan trimestre 2) Vecteurs(coordonnées)-Fonctionracinecarrée-Fonctionaffine-Fonctioncarré-Identitésremarquables Évaluation 7 Vecteurs (colinéarité) - Parallélisme et alignement - Distance entre deux points - Milieu d’un segment Évaluation 8 Informations chiffrées Évaluation 9 Probabilités - Nombres réels Mathématiques - Évaluation 1 - Sujet A Seconde mardi 5 octobre 2021 Évaluation 1 (55 min) Le soin et la rédaction seront pris en compte. Rédiger sur feuille de copie. Pensez à rédiger et expliquer vos démarches et calculs! CALCULATRICE NON AUTORISÉE Compétences évaluées N.A. E.C.A. A. P.A. Effectuer des calculs numériques ou littéraux mettant en jeu des puissances ou des écritures fractionnaires. Utiliser dans les deux sens les identités remarquables. MODÉLISER : Traduire en langage mathématique une situation réelle à l’aide d’équations. CALCULER : Exercer l’intelligence du calcul : organiser les différentes étapes d’un calcul complexe, choisir des transformations, effectuer des simplifications. RAISONNER : Effectuer des inférences déductives pour obtenir de nouveaux résul- tats, conduire une démonstration. N.A : Non Acquis E.C.A. : En Cours d’Acquisition A. : Acquis P.A. : Parfaitement Acquis. Exercice 1 Calculs avec des fractions Donner le résultat des trois calculs ci-dessous sous la forme d’un nombre en écriture fractionnaire : 1) A = 12 7 + 5 6 −1 3 2) B = 4x 7 + 2x +1 3 (x un réel) 3) C = 5× 2 3 1 4 Exercice 2 Calculs avec des puissances 1) Écrire A = 124 ×9×16−2 sous la forme 3p où p est un entier. 2) Écrire B = 49×(7−3)3 72 ×7−10 sous la forme 7n où n est un entier. Exercice 3 Développer une expression Développer et réduire les expressions suivantes : 1) A = 8(−2x +9) 2) B = (2x −5)2 3) C = (−3x +1)(−5x +2) 4) D = (2x −7)(2x +7) 1/2 Mathématiques - Évaluation 1 - Sujet A Seconde mardi 5 octobre 2021 Exercice 4 Identités remarquables x désigne un nombre réel et A = (2x −3)2 −(x −2)2. En utilisant les identités remarquables : 1) Développer A. 2) Factoriser A. Exercice 5 Factoriser une expression Factoriser les expressions suivantes : 1) A = 8x3 −5x2 +2x 2) B = (x +1)(3−x)−(x +1)(5x +2) 3) C = 4x2 −49 4) D = x2 −10x +25 Exercice 6 Démonstration du cours Démontrer, de manière géométrique, que quels que soient les réels a et b strictement positifs, on a l’égalité vraie : (a +b)2 = a2 +2ab +b2 Exercice 7 Résoudre un problème d’optimisation Un paysagiste doit organiser un terrain rectangulaire de 10m par 8m avec des tulipes et du gazon. Il a prévu d’équilibrer les aires des parcelles dé- diées aux tulipes (surfaces grisées) et au gazon (surfaces hachurées). L’objectif est de déterminer les valeurs possibles de x pour parvenir à ce que les deux aires soient égales. A B C D 10m 8m x x 1) Donner, par un encadrement, toutes les valeurs possibles de x dans ce problème. 2) Montrer que l’aire G(x) de surface de gazon peut s’exprimer par G(x) = x2 +(10−x)(8−x). 3) Déterminer une expression pour l’aire T(x) de la surface recouverte par les tulipes (surfaces grisées). 4) On admet que T(x) = −2x2 +18x. Montrer que résoudre l’équation G(x) = T(x) revient à résoudre l’équation 4x2 −36x +80 = 0. 5) Montrer que, pour tout x réel, on a 4x2 −36x +80 = 4(x −5)(x −4). 6) En déduire les solutions au problème posé en résolvant une équation produit nul. Exercice 8 Défi On pose S = 22 ×33 ×44 ×55 ×66 60n où n désigne un nombre entier relatif. 1) Montrer que S = 216−2n ×39−n ×55−n. 2) Existe-t-il une valeur de n pour laquelle S soit une puissance de 2? 2/2 Mathématiques - Évaluation 1−A Seconde CORRIGÉ Évaluation 1−A - CORRIGÉ Exercice 1 Calculs avec des fractions - (3 pts) Donner le résultat des trois calculs ci-dessous sous la forme d’un nombre en écriture fractionnaire : 1) A = 12 7 + 5 6 −1 3 = 12 7 + 5 6 −2 6 = 12 7 + 3 6 = 12 7 + 1 2 = 12×2+1×7 7×2 = 24+7 14 = 31 14 2) B = 4x 7 + 2x +1 3 = 4x ×3+(2x +1)×7 7×3 = 12x +14x +7 21 = 26x +7 21 3) C = 5× 2 3 1 4 = 5× 2 3 × 4 1 = 5× 2 3 ×4 = 40 3 Exercice 2 Calculs avec des puissances - (2 pts) 1) A = 124 ×9×16−2 = (3×4)4 ×32 ×(42)−2 = 34 ×44 ×32 ×4−4 = 34+2 ×44−4 = 36 ×40 = 36 ×1 = 36 2) B = 49×(7−3)3 72 ×7−10 = 72 ×7−3×3 72 ×7−10 = 72 ×7−9 72−10 = 72−9 7−8 = 7−7 7−8 = 7−7 ×78 = 7−7+8 = 7−1 Exercice 3 Développer une expression - (4 pts) Développer et réduire les expressions suivantes : 1) A = 8(−2x +9) = 8×(−2x)+8×9 = −16x +72 2) B = (2x −5)2 | {z } id. remarquable = (2x)2 −2×2x ×5+52 = 4x2 −20x +25 3) C = (−3x +1)(−5x +2) = −3x ×(−5x)+(−3x)×2+1×(−5x)+1×2 = 15x2 −6x −5x +2 = 15x2 −11x +2 4) D = (2x −7)(2x +7) | {z } id. remarquable = (2x)2 −72 = 4x2 −49 Exercice 4 Identités remarquables - (3 pts) x désigne un nombre réel et A = (2x −3)2 −(x −2)2. En utilisant les identités remarquables : 1) Développer A. A = 4x2 −12x +9−(x2 −4x +4) = 4x2 −12x +9−x2 +4x −4 = 3x2 −8x +5 2) Factoriser A. A = (2x −3)+(x −2) × (2x −3)−(x −2) = (3x −5)(x −1) Exercice 5 Factoriser une expression - (4 pts) Factoriser les expressions suivantes : 1) A = 8x3 −5x2 +2x = x(8x2 −5x +2) 2) B = (x +1)(3−x)−(x +1)(5x +2) = (x +1)(3−x −(5x +2)) = (x +1)(3−x −5x −2) = (x +1)(−6x +1) 3) C = 4x2 −49 = (2x)2 −72 = (2x −7)(2x +7) 4) D = x2 −10x +25 = (x −5)2 1/3 Mathématiques - Évaluation 1−A Seconde CORRIGÉ Exercice 6 Démonstration du cours - (5 pts) Démontrer, de manière géométrique, que quel que soit les réels a et b strictement positifs, on a l’égalité vraie : (a +b)2 = a2 +2ab +b2 Voir le cours ... Exercice 7 Résoudre un problème d’optimisation - (9 pts) Un paysagiste doit organiser un terrain rectangulaire de 10m par 8m avec des tulipes et du gazon. Il a prévu d’équilibrer les aires des parcelles dé- diées aux tulipes (surfaces grisées) et au gazon (surfaces hachurées). L’ob- jectif est de déterminer les valeurs possibles de x pour parvenir à ce que les deux aires soient égales. A B C D 10m 8m x x 1) Donner, par un encadrement, toutes les valeurs possibles de x dans ce problème. x est une grandeur forcément strictement positive puisqu’il s’agit d’une longueur. De plus, x ne peut pas être inférieur aux dimensions des côtés du rectangle doit être à la fois inférieur à 8 et aussi inférieur à 10. Il suffit donc x < 8 pour satisfaire ces deux conditions. Afin que x réponde aux différents critères géométriques, il faut que 0 < x < 8 . 2) Montrer que l’aire G(x) de surface de gazon peut s’exprimer par G(x) = x2 +(10−x)(8−x). Pour tout 0 < x < 8, la surface de gazon est formée de : O la surface du carré de coté x et donc d’aire x2; O la surface du rectangle hachurée de coté 10−x et 8−x et donc d’aire (10−x)(8−x) L’aire totale G(x) de surface de gazon étant constituée de la somme des deux aires décrites précédemment, on a donc bien G(x) = x2 +(10−x)(8−x) 3) Déterminer une expression pour l’aire T(x) de la surface recouverte par les tulipes (surfaces grisées). Pourtout0 < x < 8,lasurfacedetulipesestforméedessurfacesdesdeuxrectanglesgriséesquiontpourdimensions: O x et 8−x soit une aire de x ×(8−x); O x et 10−x soit une aire de x ×(10−x). L’aire totale T(x) de surface de tulipes étant constituée de la somme des deux aires décrites précédemment, on a donc T(x) = x(8−x)+ x(10−x) . Remarque : on pouvait aussi dire que T(x) = 80 −G(x) = 80 −(x2 + (10 −x)(8 −x)) (aire de ABCD moins l’aire gazonnée ...) 4) On admet que T(x) = −2x2 +18x. 2/3 Mathématiques - Évaluation 1−A Seconde CORRIGÉ Montrer que résoudre l’équation G(x) = T(x) revient à résoudre l’équation 4x2 −36x +80 = 0. Pour tout 0 < x < 8, G(x) = T(x) est équivalent à x2 +(10−x)(8−x) = −2x2 +18x (on substitue les expressions de G(x) et T(x) obtenues précédemment dans l’égalité). On uploads/s3/ 2nde-complet-evaluations-2122.pdf