Exercise 1 Soit l’ensemble D donné par D =  (x; y) 2 R2 : x2 4 + y2 9 = 1  :

Exercise 1 Soit l’ensemble D donné par D =  (x; y) 2 R2 : x2 4 + y2 9 = 1  : 1. Dessiner D 2. Soit C l’ensemble des points du bord de D: Déterminer l’équation de la droite tangente à la courbe C en un point (x0; y0) 2 C; en supposons que x0 > 0 et y0 > 0: 3. Calculer de deux façons di¤érentes l’intégrale: I = ZZ D (x y)dxdy: (a) En utilisant le changement de variable: x = 2 cos t; y = 3 sin t: (b) En utilisant la formule de Green-Riemann. Exercise 2 On considère le cylindre plein D =  (x; y; z) 2 R3 : x2 + y2  1; 0  z  3 ayant pour densité de masse f(x; y; z) = x2+y2 z+1 . 1. Trouver la masse totale du cylindre. 2. Trouver le centre de masse G(xG; yG; zG) du cylindre. Exercise 3 Considérons le champ de vecteurs de R3; donné par ~ V = 2xz! i + ln z! j +  x2 + y z  ! k dé…ni sur D = f(x; y; z) 2 R3 : z > 0g : 1. Expliquer pourquoi le champ ~ V est conservatif sur D (c.- à.-d. qu’il est un champ de gradient sur D). 2. Trouver un potentiel scalaire f : D ! R tel que ~ V = ! grad (f). 3. Calculer la circulation de ~ V le long du cercle paramétré par (t) = (cos (t) ; sin (t) ; 1) avec t 2 [0; ]: 1 uploads/s3/ devoir-analyse 1 .pdf

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