Concours Advance 4 mai 2019 4 mai 2019 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Consignes aux c

Concours Advance 4 mai 2019 4 mai 2019 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Consignes aux candidats Durée de l'épreuve : 1h30 Vous devez commencer par remplir la partie administrative de votre fiche optique, avec indication de votre nom, prénom, et en cochant les cases de votre identifiant personnel : le numéro QCM.  L'épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14.  Chaque question comporte cinq propositions : A, B, C, D, E.  Pour chaque question : o Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie. o Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse. o Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses  Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée. Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.  Seule la fiche optique est ramassée en fin d'épreuve. LES CALCULATRICES NE SONT PAS AUTORISÉES Vérifiez que votre épreuve est constituée de 6 pages numérotées de 1 à 6. Dans le cas contraire, demandez un nouveau sujet. Concours Advance 2019 Épreuve de mathématiques Épreuve de mathématiques Durée : 1 h 30 Questions obligatoires 1. a. lim x→+∞ x2 −x 2x2 + 1 = 1 2. b. lim x→+∞ x ex = 0. c. lim x→0 ln(x) = 0. d. Si 2 ln(a) + 1 > 0 alors a > √e. e. Sur ]0, +∞[, la dérivée de la fonction x 7− →x ln(x) est la fonction x 7− →ln(x). 2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal d’origine O. Pour tout point M du plan, l’affixe de M est noté ZM. A, B et C désignent trois points du plan distincts de O. a. Si Z = 1 + i √ 2 −i √ 6 alors |Z| = 1 2 et arg(Z) = 7π 12 [2π]. b. Si Z = −2 cos 3π 4  + i sin 3π 4  ! alors |Z| = 2 et arg(Z) = −3π 4 [2π]. c. Si les points A et B sont symétriques par rapport à O alors ZA = ZB. d. Si ZA = ZB = ZC alors ABC est un triangle équilatéral. e. Si arg ZA  = π + arg ZB  [2π] alors O, A et B sont alignés. 3. f est une fonction définie et dérivable sur un ensemble D. a. Si D = R et f(x) = x2 −1 x2 + 1 alors f ′(x) = 4x x2 + 1 2 . b. Si D = R∗et f(x) = x2 −x e1/x alors f ′(x) = e1/x 2x2 −2x + 1 x ! . c. Si D = R∗et f(x) = ln x2 + 1  alors f ′(x) = 1 x2 + 1. d. Z 1 0 4x x2 + 1 dx = ln(2). e. Z π/2 0 sin(2x + π) dx = 0. 4 mai 2019 Page 1 sur 6 Concours Advance 2019 Épreuve de mathématiques 4. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = xe1−x et C la courbe représentant f dans un repère orthonormal. Soit d la droite d’équation y = ex + 15 et D la droite d’équation y = x. a. lim x→+∞f(x) = +∞. b. lim x→−∞f(x) = −∞. c. Pour tout réel x, f ′(x) = (1 −x)e1−x. d. Il existe une tangente T à C qui est parallèle à la droite d. e. C est en dessous de la droite D sur ]−∞, 0[. 5. Soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par g(x) = ln(x) 2 x , représentée par la courbe C dans un repère orthonormal. Soit h la fonction définie sur ]0, +∞[ par h(x) = 1 x, représentée par la courbe C ′. a. lim x→0 g(x) = 0. b. Pour tout réel x strictement positif, g′(x) = 2 ln(x) − ln(x) 2 x2 . c. Pour tout réel x strictement positif, g(x) 2 = ln √x  √x !2 . d. C admet une asymptote parallèle à l’axe des abscisses. e. C est au-dessus de C ′ sur 1 e, +∞  . 6. Un magasin d’électroménager vend deux modèles de robot au même prix et de marques M1 et M2. Les deux robots ont les mêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc. D’après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70 % des acheteurs ont choisi le robot M1 et, parmi eux, 60 % ont préféré la couleur noire. Par ailleurs 20 % des clients ayant acheté un robot M2 l’ont choisi de couleur blanche. On utilise la liste des clients ayant acheté l’un ou l’autre des robots précédemment cités et on choisit un client au hasard. Soient A et B deux événements indépendants d’un même univers Ωtels que P(A) = 0,3 et P(A ∪B) = 0,65. a. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un robot M2 de couleur noire est égale à 6 25. b. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un robot de couleur noire est égale à 6 25. c. Le client a choisi un robot de couleur noire. La probabilité qu’il soit de marque M2 est égale à 33 50. d. La probabilité de l’événement B est égale à 0,5. e. A et B sont indépendants. 4 mai 2019 Page 2 sur 6 Concours Advance 2019 Épreuve de mathématiques Questions à choisir 7. Soit f la fonction définie par f(x) = ln (1 −ex)2 et C la courbe représentant f dans un repère orthonormal du plan. a. Pour tout x ̸= 0, f(x) > 0. b. L’axe des abscisses est une asymptote de C en −∞. c. Pour tout x ̸= 0, f(x) = 2 ln(1 −ex). d. Pour tout x ̸= 0, f(x) > 0 si et seulement si x < 0 . e. f est décroissante sur ]−∞, 0[. 8. Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et pour tout n ∈N, un+1 = 1 3un + n −2. Soit (vn) la suite définie pour tout n ∈N par vn = −2un + 3n −21 2 . On considère l’algorithme ci-dessous. N est un entier, U est un réel U ← −1 ; N ← −0 ; Tant que U ⩽0 ou N = 0  U ← −U 3 + N −2 N ← −N + 1 Fin Tant que Afficher U a. u3 = −14 27. b. L’algorithme affiche la valeur de u3. c. Pour tout n ∈N, n ⩾5 = ⇒un ⩾n −3 . d. (vn) est une suite géométrique de raison 3. e. lim n→+∞un = +∞. 4 mai 2019 Page 3 sur 6 Concours Advance 2019 Épreuve de mathématiques 9. Soit (un) la suite définie par u0 = 4 et, pour tout n ∈N, un+1 = f(un) où f est une fonction définie et dérivable sur R. Soit (vn) la suite définie par v0 = 1 et, pour tout n ∈N, ln(vn+1) = ln(vn) −1. a. Si pour tout réel x, f ′(x) < 0 alors (un) est strictement décroissante. b. (vn) est une suite géométrique. c. (vn) est convergente. d. La suite (tn) définie pour tout n ∈N par tn = n2 −200 √n est décroissante. e. lim n→+∞ n X k=1 1 2k = +∞. 10. f est une fonction définie sur R. a. Si pour tout réel x > 1, 1 + 1 x < f(x) < x2 + x + 100 x2 + 1 alors lim x→+∞f(x) = 1. b. Si f(x) = 2x + 3 −sin(2x) alors pour tout réel x, f(x) ⩽2x + 2. c. lim x→+∞2x sin  1 2x  = 1. d. lim n→+∞ 3 + 2n 3 + 4n = 1. e. Si 0 < x < 1 alors lim n→+∞ (1 −x)n(1 + x)n = +∞. 11. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal d’origine O, on considère les points E et F d’affixes respectives −2 + i et 2 + 4i et E l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z + 2 −i| = |z −2 −4i|. Pour tout point M du plan, l’affixe de M est notée zM. a. Le point G d’affixe 3 −3 2i appartient à E . b. E est le cercle de diamètre [EF]. c. Le triangle OEF est rectangle. d. Si zA = 2 −3i, zB = −26 + 18i et zC = −2 alors A, B et C sont alignés. e. Si zA = 3e2iπ/3 et zB = 2e−5iπ/6 alors le triangle OAB est rectangle. 4 mai 2019 Page 4 sur 6 Concours Advance 2019 Épreuve de mathématiques 12. L’espace est rapporté à un repère orthonormal O,⃗ i,⃗ j,⃗ k . On considère les points suivants définis par leurs coordonnées : A(1; −1; 2), B(3; 3; uploads/s3/ concours-advance-sujet-corrige-2019-maths 1 .pdf

Tags
Administrationalors définie fonction droite mathématiques
Documents similaires
  • 20
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager