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Niv : TS1 CIRA Rep : §Laplace 1.1 : Systèmes commandés en boucle ouverte Transformation de Laplace CRSno 7 Page 1/5 Programme de l’exposé Table des matières 1 Transformation de Laplace 1 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.1 théorème no 1 : transformation d’une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.2 théorème no 2 : transformation d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.3 théorème no 3 : Théorème de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.4 théorème no 4 : Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.5 théorème no 5 : Retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Transformées de Laplace des principaux signaux utilisés en régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Résolution des équations différentielles 1 2.1 Exemple d’un cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Exemple d’un cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Fonctions de transfert isomorphe 2 3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3.2 Association de fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3.3 Exemple d’association . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle 4 5 Transformée de Laplace des principaux signaux utilisés en régulation 5 16-17*TS1*CRS7*-*Laplacev1 1 16 décembre 2016 Niv : TS1 CIRA Rep : §Laplace 1.1 : Systèmes commandés en boucle ouverte Transformation de Laplace CRSno 7 Page 1/5 1 Transformation de Laplace 1.1 Définition La transformée de Laplace associe à un signal x(t) une fonction X(p) définie par : X(p) =  ∞ 0 x(t)e−ptdt La variable p est un nombre complexe appelé variable de Laplace. X(p) est appelée transformée de Laplace de x(t). On note aussi : X(p) = L [x(t)] 1.2 Propriétés 1.2.1 théorème no 1 : transformation d’une déri- vée Toute multiplication par p équivaut dans le domaine temporel à une dérivée en fonction du temps. L dx(t) dt  = p · X(p) Remarque : L’expression mathématique de ce théorème est en fait : L  dx(t) dt  = p·X(p)−x(0), mais x(0) = 0 en régulation. 1.2.2 théorème no 2 : transformation d’une pri- mitive Toute division par p se traduit dans le domaine tem- porel par une intégration en fonction du temps. L  x(t).dt  = X(p) p 1.2.3 théorème no 3 : Théorème de la valeur finale lim t→∞x(t) = lim p→0 p · X(p) 1.2.4 théorème no 4 : Linéarité D’autre part, la transformée de Laplace est une trans- formation linéaire : Soit λ et µ deux constantes réelles, et X(p) et Y (p) les transformées de Laplace de x(t) et y(t) : L [λ · x(t) + µ · y(t)] = λ · X(p) + µ · Y (p) 1.2.5 théorème no 5 : Retard Transformée de Laplace d’une fonction retardée d’un retard T : L [x(t −T )] = X(p) · e−T ·p 1.3 Transformées de Laplace des principaux signaux utilisés en régulation Le tableau en fin de document donne les transformées de Laplace couramment utilisées en régulation (cf. 5). 2 Résolution des équations différentielles Du fait de ses propriétés en ce qui concerne les dérivées en fonction du temps des signaux, la transformée de Laplace est très utile pour résoudre des équations différentielles linéaires. Exemple de résolution d’un premier ordre : On rappelle que l’équation différentielle correspondant à un premier ordre dont le signal d’entrée est e(t) et la grandeur de sortie est s(t) vaut : s(t) + τ ds(t) dt = Ke(t) (1) si E(p) et S(p) sont les transformées de Laplace de e(t) et s(t), alors l’équation (1) devient : S(p) + τp · S(p) = K · E(p) ,soit S(p)(1 + τp) = K · E(p) S(p) = K (1 + τp) · E(p) (2) La connaissance de E(p) permet donc de connaître S(p). Deux cas peuvent alors se présenter : – Cas simple : L’expression de s(t) peut se déduire de S(p) directement à partir de la table des transformées de Laplace. – Cas complexe : L’expression de S(p) ne correspond pas aux cas élémentaires qui figurent dans la table et une décomposition en éléments simples (cf 16) est nécessaire afin de ramener S(p) à une somme de cas élémentaires. 16-17*TS1*CRS7*-*Laplacev1 1 16 décembre 2016 Niv : TS1 CIRA Rep : §Laplace 1.1 : Systèmes commandés en boucle ouverte Transformation de Laplace CRSno 7 Page 2/5 2.1 Exemple d’un cas simple Si le signal de commande est une impulsion de Dirac e(t) = δ(t) alors : E(p) = 1 et, S(p) = K (1 + τp) = K τ ( 1 τ + p) D’aprés la table des transformées de Laplace, on peut déduire l’expression de s(t) : t s(t) K/τ s(t) = K τ .e−t τ , ce qui correspond bien à la réponse impulsionnelle d’un premier ordre. 2.2 Exemple d’un cas complexe Si le signal de commande est une échelon d’amplitude E : e(t) = E · u(t) alors : E(p) = E p et, S(p) = KE p(1 + τp) On ne peut trouver directement dans la table des transformées ususelles une expression qui corresponde à S(p). Il faut au préalable opérer une décomposition en éléménts simples de S(p). La méthode de décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples (cf. 16) est donnée à la fin de ce cours. La décomposition en éléments simples de S(p) permet d’aboutir au résultat : S(p) = KE 1 p − τ 1 + τp  ,donc S(p) = KE 1 p − 1 1 τ + p  L’utilisation de la table des transformées usuelles de Laplace (cf. 5) permet à présent d’obtenir l’expression de s(t) : s(t) = KE  u(t) −e−t τ u(t)  ,donc s(t) = KE  1 −e−t τ  u(t) , ce qui correspond bien à la réponse indicielle d’un premier ordre. t s(t) KE τ 3 Fonctions de transfert isomorphe 3.1 Définition On définit la fonction de transfert isomorphe comme le rapport H(p) = S(p) E(p) et on lui associe la représentation graphique ci-contre. H(p) S(p) E(p) Exemple : L’équation (2) permet de définir la fonction de transfert isomorphe d’un premier ordre : H(p) = K 1 + τ · p 3.2 Association de fonctions de transfert La fonction de transfert Heq(p) équivalente à la mise en série de deux fonctions de uploads/s3/ 16-17-ts1-crs7-laplacev1-article-pdf.pdf

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