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De la solidarité de groupe dans la théorie galoisienne (séminaire mamuphi, Irca

De la solidarité de groupe dans la théorie galoisienne (séminaire mamuphi, Ircam, samedi 13 octobre 2018) - François Nicolas - Deux cents ans après Galois, Alain Connes déclare qu’il lui a fallu « beaucoup de temps » et « énormément de travail » en 2011 pour arriver à « comprendre la pénétration de la pensée de Galois » et prendre cons- cience de ce que « sa pensée garde son potentiel de mise en mouvement » et cette « fulgurance qui montre la voie à suivre ». 1 Pour mieux rétablir l’idée galoisienne d’ambiguïté, Connes délaisse provisoirement les structures algé- briques abstraites que la modernité bourbakiste a retenues (groupes de symétrie des k-automorphismes, anneaux des polynômes, corps de résolution, espaces vectoriels et k-algèbres des extensions…) pour réac- tiver l’étonnement premier : il existe des relations rationnelles entre racines non rationnelles d’une même équation polynomiale, et c’est l’étude systématique de ces relations qui fonde la théorisation galoisienne avant qu’elle ne devienne officiellement « la théorie de Galois ». Ce retournement rétablit une continuité Lagrange-Galois (sous le signe des « résolvantes » auxiliaires) pour mieux mettre en évidence le pas gagné par Galois : la lettre x ne symbolise plus tant une inconnue indivi- duée que le membre générique d’un collectif solidaire, l’enjeu de l’équation n’est plus tant sa résolution (en x) que la caractérisation de son groupe si bien que les structures algébriques (dégagées dans la seconde vague de la modernité algébrique par Steinitz, Artin…) se réassurent ainsi dans leur capacité à formaliser le modèle polynomial. Ce réancrage de la théorie dans son modèle constituant invite à repenser ce que modernité (ici algébrique) veut dire : par-delà le risque de l’abstraction formaliste où la syntaxe cultive ses capacités autoréférentielles (le « modernisme »), le retour à la sémantique originelle revivifie le travail théorique en autorisant quelques nouvelles interprétations de la formalisation patiemment élaborée et, par-là, quelques nouvelles extensions théoriques (songeons à la notion contemporaine de perfectoïde 2 venant explorer les parentés formelles d’espace géométrique entre l’algèbre polynomiale et l’arithmétique p-adique). Ce faisant, le travail théorique avoue le secret commun à ses différents modèles en le formalisant : ainsi la forme du secret polynomial va se donner en l’idée de groupe qui formalise la solidarité secrète des racines (« l’ambiguïté » syntaxique avoue la solidarité sémantique des racines « conjuguées », donc gémellaires). Ce qui caractériserait alors le travail théorique moderne serait que les secrets des modèles ne relèveraient plus d’une dissimulation (voir la logique infantile de l’objet caché pour mieux préparer la surprise de sa réapparition) qu’une mise au jour suffirait alors à dissiper, mais d’une singularité (dont Hironaka délivre le chiffre : une configuration locale qui avoue, par quelque irrégularité phénoménale, que deux tendances globalement orthogonales – c’est le secret d’ensemble - y sont rendues indiscernables). Dans notre cas, la théorie algébrique ne vise plus, comme dans l’algèbre classique, la résorption « par radicaux » du secret polynomial (tout classicisme ne répand-il pas quelque parfum d’enfance ?) mais l’aveu de sa singularité sous forme d’un groupe de solidarité entre racines. Au total, on aurait donc la périodisation suivante : - La première vague de la modernité algébrique (XIX°) avoue l’existence singulière d’un groupe qui reste pratiquement incalculable – d’où l’incompréhension tenace des « réalistes ». - La seconde vague (première moitié du XX°) autonomise la forme de cet aveu, la séparant de la singu- larité secrète du polynome, par l’étude des nouvelles structures algébriques ainsi dégagées (d’où le risque « moderniste » d’un certain péril formaliste). - La troisième vague (à partir des années 60), celle-là même qu’il s’agit cinquante ans plus tard de res- saisir inventivement (voir les chantiers en cours autour de Grothendieck) contre les sirènes démobili- satrices du consentement postmoderne, réancre la forme générale de l’aveu dans les secrets algébriques spécifiques en assumant consciemment qu’un secret avoué reste un secret (Lacan) : ainsi Connes, re- tournant à la théorie galoisienne d’avant « la théorie de Galois », éprouve que l’aveu, loin de dissiper 1 Sur Évariste Galois (revue Secousse, n°6, mars 2012) : http://www.revue-secousse.fr/Secousse-06/Carte- blanche/SkS06-Connes-Galois.pdf 2 Voir Peter Scholze (Médaille Fields 2018) : https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/medaille-fields-peter- scholze-loracle-de-larithmetique-14428.php. Sur les perfectoïdes : http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2017/154/smf_gazette_154_60-64.pdf et https://www.youtube.com/watch?v=UfjaResU3tI 2 le secret, le réactive en amplifiant ses échos. Ce retour contemporain à la théorie galoisienne s’avère gros de raisonances pour les modernités musicale (composer en « groupant » des voix ?), mamuphique (« grouper » mathématiques, musique et philoso- phie ?) et politique (« justice » comme nom du groupe – infini - Humanité ?). I. La situation polynomiale et ses problèmes ....................................................................................... 4 ∏⟹∑ !!! ................................................................................................................................................... 4 ∏ ........................................................................................................................................................... 4 Expressions ....................................................................................................................................... 4 Fonctions ........................................................................................................................................... 4 Équations .......................................................................................................................................... 5 ∑ ............................................................................................................................................................ 5 σ ............................................................................................................................................................ 6 ∑⟹∏ ??? ................................................................................................................................................. 7 G ................................................................................................................................................................ 8 Algèbre-arithmétique-géométrie ....................................................................................................... 9 II. La théorie galoisienne ....................................................................................................................... 10 Fonctoriel/fonctionnel ....................................................................................................................... 10 Petite pause sur cette distinction .................................................................................................... 10 Groupements géométriques/algébriques ......................................................................................... 11 Groupement géométrique ................................................................................................................ 11 Groupe algébrique .......................................................................................................................... 12 Point de vue fonctionnel ....................................................................................................................... 13 Arrangements-permutations ............................................................................................................ 13 1 - Fonction auxiliaire V ................................................................................................................... 13 2 - Polynôme ℘ .................................................................................................................................. 15 3 - Expression rationnelle de rα ........................................................................................................ 15 4 - Expressions rationnelles des (n-1) autres racines ..................................................................... 15 5 – Équivalence permutationnelle ................................................................................................... 15 Intermède ............................................................................................................................................... 16 Formules par radicaux ..................................................................................................................... 16 Fonction x5+x4-4x3-3x2+3x ................................................................................................................ 16 Polynôme x5+x4-4x3-3x2+3x+1=0 .................................................................................................. 17 Point de vue fonctoriel .......................................................................................................................... 19 Cadrage général ................................................................................................................................ 19 Prenons deux exemples . ................................................................................................................. 19 Groupe ................................................................................................................................................ 19 Sous-groupe ....................................................................................................................................... 20 Sous-groupe distingué ....................................................................................................................... 20 Groupe-quotient ................................................................................................................................ 20 Correspondance de Galois ................................................................................................................ 20 Opération élémentaire .................................................................................................................... 20 Groupes simples/composés ............................................................................................................... 20 Réduction vers Id .............................................................................................................................. 20 III. Prolongements mathématiques ........................................................................................................ 21 Passage à l’infini : les séries formelles ................................................................................................. 21 Le groupe de Galois différentiel .......................................................................................................... 21 Les perfectoïdes ..................................................................................................................................... 21 IV. Raisonances ........................................................................................................................................ 22 Évariste .................................................................................................................................................. 22 3 Sa vie ................................................................................................................................................... 22 Sa mort, une équation à 5 inconnues ! ............................................................................................ 22 Générales ................................................................................................................................................ 22 Modernités ......................................................................................................................................... 22 Néoclassicisme / transmodernité ...................................................................................................... 22 De la fonctionnalité à la Fonctorialité ............................................................................................. 22 De la collection constituée au collectif constituant… ..................................................................... 22 Solidarité ......................................................................................................................................... 23 À partir de 5… ................................................................................................................................. 23 Musique .................................................................................................................................................. 23 L’écoute .............................................................................................................................................. 23 Wagner ............................................................................................................................................... 23 Politique ................................................................................................................................................. 23 Le groupe politique ? ........................................................................................................................ 23 Grouper l’humanité ? ....................................................................................................................... 23 Arts ......................................................................................................................................................... 23 Montage cinématographique ........................................................................................................... 23 « La longue marche à travers la théorie de Galois » Alexandre Grothendieck « La théorie de Galois est devenue tellement classique en mathématiques que les textes qui la présentent sont pour la plupart d’une facilité apparente qui est déconcertante et terriblement trompeuse car, en tri- vialisant les énoncés, elle en masque souvent la portée métamathématique. Il n’est donc sans doute pas inutile, même pour le mathématicien professionnel, de relire ces textes avec la fraicheur nécessaire, i.e. en essayant de réfléchir directement aux énoncés sans utiliser l’artillerie lourde. » Alain Connes 3 À l’initiative d’Alain Connes, il s’agit de reprendre Galois et sa théorie des groupes par-delà la « Galois Theory » [GT] formalisée par Emil Artin (années 30-40) et Bourbaki, avant même son déplacement par Lie (⟹ groupes de Lie), donc en son temps 0. Cf. trois moments-dimensions de la modernité algébrique comme de toute modernité 4: Il s’agit d’exposer la théorie galoisienne (≠ de GT) en mettant à plat ses étonnements, ses questions et ses enjeux premiers, tels qu’ils peuvent se constituer avant même que n’existent les groupes, les anneaux, les corps, les espaces vectoriels et les k-algèbres, donc avant Dedekind. Cf. ontogenèse : méthode d’exposition qui rapproche le Galois inventant la modernité algébrique et par là la modernité mathématique (le deuxième sera Riemann : les groupes de Galois et les surfaces de Riemann composent le premier temps de la modernité mathématique 5) d’un mathématicien naïf, disons un lycéen issu de Terminale. 3 2011 : « La pensée d’Évariste Galois et le formalisme moderne ». http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf 4 Pour les révolutions R.E.D., voir Hétérophonies/68 : https://heterophonies68.wordpress.com/ 5 On y reviendra avec l’examen du travail de Zalamea… GALOIS III extension II reconstruction I déplacement Grothendieck Artin Lie 4 I. La situation polynomiale et ses problèmes Didactique non bourbakiste (cf. Stewart) : commencer par degré 5 puis généraliser à n (cf. « soit maintenant 5=n ») plutôt que l’inverse (« soit maintenant n=5 »). ∏⟹∑ !!! ∏ Posons le problème en exposant les polynômes à partir de leur forme P(x)=∏(x-rj) Expressions Assemblons un collectif de manière extensionnelle par construction élémentaire progressive d’expressions où x est un nombre indéterminé : Expression polynomiale ∏ R={rj} (x-1) {1} (x-1)(x-2) {1, 2} (x-1)(x-2)(x-3) {1, 2, 3} (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) {1, 2, 3, 4} (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) {1, 2, 3, 4, 5} (x-3)(x-√2)(x-π) {3, √2, π} Fonctions Ces expressions polynomiales donnent lieu à des fonctions P(x) où x est un nombre variable : par ex. P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) Un nombre peut appartenir à N, Z, Q, R ou C – ici le nombre variable x appartient à un corps, et les corps commencent avec Q. Qu’est-ce que « mesure » cette fonction P(x) ? Elle mesure l’écart synthétique de x à la « base » {1, 2, 3, 4, uploads/s3/ galois-13-10-2018.pdf