Concours blanc : mathématiques 1 La présentation, la qualité de la rédaction et

Concours blanc : mathématiques 1 La présentation, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer ou souligner leurs ré- sultats. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Exercice 1. 1. a) Montrer que, pour tout θ ∈ h 0, π 4 i , 1 + tan π 4 −θ  = 2 1 + tan(θ). b) En déduire, à l’aide d’un changement de variable, la valeur de l’intégrale Z π 4 0 ln  1 + tan(t)  dt. 2. Grâce au changement de variable u = tan(t), calculer l’intégrale Z 1 0 ln(1 + u) 1 + u2 du. 3. En déduire la valeur de l’intégrale Z 1 0 arctan(u) 1 + u du. Problème 1. Partie A On note f la fonction définie sur R par f(x) = x3 −x + 1 4 pour tout x ∈R. 1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet exactement trois solutions réelles. On note, dans toute la suite, a, b et c, avec a < b < c, les solutions de l’équation f(x) = 0. 2. Prouver que 1 5 < b < 3 10. On établirait de la même manière, mais on l’admet, que −6 5 < a < −11 10 et 4 5 < c < 9 10. Partie B 1. On note g la fonction définie sur R par g(x) = f(x) + x pour tout x ∈R. On définit la suite (un) par u0 = 0 et un+1 = g(un) pour tout n ∈N. a) Que sont les réels a, b et c pour la fonction g ? b) Donner les variations de la fonction g sur R et montrer que, pour tout x ∈[0, b], g(x) ∈[0, b]. c) Justifier que, pour tout x ∈[0, b], g(x) ⩾x et en déduire les variations de la suite un  , puis sa convergence et sa limite. d) Montrer que, pour tout (x, y) ∈[0, b]2, g(x) −g(y) ⩽27 100 x −y . e) Prouver que, pour tout n ∈N, un −b ⩽  27 100 n b et retrouver ainsi la limite de la suite un  . 2. On définit les suites (vn) et (wn) par vn = un −b et wn = vn (3b2)n pour tout n ∈N. a) Établir que, pour tout n ∈N, vn+1 = 3vnb2 + 3v2 nb + v3 n, puis que, pour tout n ∈N, wn+1 = wn + v2 n (3b2)n+1 3b + vn  . b) En déduire le sens de variations de la suite wn  , puis qu’elle converge. c) Conclure qu’il existe un réel ℓ∈[−b, 0] tel que un = b + ℓ(3b2)n + o (3b2)n . 3. On définit la suite tn  par tn = vn(3b + vn) 3b2 pour tout n ∈N. a) Établir, grâce à la question 2. a), que, pour tout n ∈N, ln −wn+1  −ln −wn  = ln 1 + tn  . b) Grâce à la question 2. c), montrer que la série X ln 1 + tn  est convergente. c) En déduire que la suite ln(−wn)  converge, puis que le nombre réel ℓest non nul et donner une expression de ℓen fonction de b et de la somme de la série X ln 1 + tn  . Tournez la page svp ⇒ Partie C 1. On définit la suite sn  par sn = an + bn + cn pour tout n ∈N. a) Donner la valeur de s0 et, grâce aux relations coefficients-racines, déterminer s1 et s2. b) Montrer que, pour tout n ∈N, sn+3 = sn+1 −sn 4 . 2. Grâce aux encadrements des réels a, b et c donnés à la partie A, encadrer les réels b |a| et c |a|. 3. Prouver que sn ∼an et en déduire la limite de la suite sn+1 sn  . 4. a) Montrer que, pour tout n ⩾2,  b |a| n +  c |a| n < 90 121. b) En déduire que, pour tout n ⩾2, |sn| > 31 121|a|n. Indication : On pourra montrer, dans un premier temps, que, pour tous nombres réels x et y, |x + y| ⩾|x| −|y|. c) Montrer que, pour tout n ⩾2, sn+1 sn −a < 2541 310  3 11 n +  9 11 n! . Partie D 1. À l’aide des suites définies aux parties B et C, définir une suite (rn) convergeant vers c et estimer, pour tout n ⩾2, l’écart |rn −c|. Partie E 1. Montrer que, pour tout θ ∈R, cos(3θ) = 4 cos3(θ) −3 cos(θ). 2. On fait le changement d’inconnue x = ρ cos(θ) où ρ ∈R∗ + et θ ∈R. Déterminer une valeur du réel ρ pour laquelle l’équation x3 −x+ 1 4 = 0 est équivalente à l’équation cos(3θ) = −3 √ 3 8 . 3. En déduire une expression des solutions de l’équation x3−x+ 1 4 = 0 en fonction de arccos  −3 √ 3 8  . Problème 2. 1. a) Résoudre sur R∗ + l’équation différentielle xy′ + y = 1 1 + x. b) Montrer que, parmi les solutions de cette équation différentielle, la seule qui est prolongeable par continuité en 0 est la fonction f définie sur R∗ + par f(x) = ln(1 + x) x pour tout x ∈R∗ +, puis préciser la valeur en 0 de son prolongement. Dans toute la suite, on note ˜ f le prolongement par continuité de f sur R+. 2. a) Déterminer une fonction g telle que, pour tout x ∈R∗ +, f ′(x) = g(x) x2(1 + x). b) Montrer que la fonction f ′ admet une limite à droite en 0 et en déduire que la fonction ˜ f est de classe C 1 sur R+. c) En étudiant les variations de la fonction g, déterminer son signe, puis donner les variations de la fonction f en précisant sa limite en +∞. 3. a) Vérifier que, pour tout x ∈R∗ +, f ′′(x) = 2(1 + x)2 ln(1 + x) −3x2 −2x x3(1 + x)2 . b) À l’aide d’un développement limité du numérateur, prouver que la fonction f ′′ admet une limite à droite en 0 et en déduire que la fonction ˜ f est de classe C 2 sur R+. c) Exprimer en fonction de g la dérivée du numérateur de f ′′ et en déduire que la fonction f ′′ est positive sur R∗ +. Tournez la page svp ⇒ 4. a) Prouver, en le déterminant, que, pour tout n ∈N, la fonction ˜ f admet un développement limité en 0 à l’ordre n. Cela implique-t-il que la fonction ˜ f est de C ∞sur R+ ? b) Justifier que la fonction f est de classe C ∞sur R∗ +. c) Soit n ∈N. Rappeler l’expression de la dérivée n-ième des fonctions x 7→ln(1 + x) et x 7→1 x. d) Montrer que, pour tout n ∈N et tout x ∈R∗ +, f (n)(x) = (−1)nn! xn+1 ϕn(x) où ϕn est la fonction définie sur R+ par ϕn(x) = ln(1 + x) − n X k=1 1 k  x 1 + x k pour tout x ∈R+. e) Prouver que, pour tout x ∈R+, ϕ′ n(x) = 1 1 + x  x 1 + x n . f) En déduire, grâce à l’inégalité des accroissements finis, que, pour tout n ∈N et tout x ∈R∗ +, f (n)(x) ⩽n!. g) Établir que, pour tout n ∈N et tout x ∈R∗ +, xf (n+1)(x) + (n + 1)f (n)(x) = (−1)nn! (1 + x)n+1 . h) Grâce aux résultats des question 4. f) et 4. g), montrer que, pour tout n ∈N, la fonction f (n) admet une limite finie à droite en 0 et conclure que la fonction ˜ f est de classe C ∞sur R+ en précisant la valeur de ˜ f (n)(0) en fonction de n. i) À l’aide de la question 4. a), retrouver, pour tout n ∈N, l’expression de ˜ f (n)(0) en fonction de n. uploads/s3/ concours-blanc-analyse.pdf

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