Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS Nous avons manipulé déjà ensemble pas mal de fonctions, mais presque toujours définies sur une partie de R et à valeurs dans C. Nous aurons désormais l’occasion de manipuler des fonctions DÉFINIES SUR DES ENSEMBLES QUELCONQUES et À VALEURS DANS DES ENSEMBLES QUELCONQUES — des ensembles de ce-que-vous-voulez, pas forcément des ensembles de nombres. Ce chapitre s’ouvre ainsi naturellement sur une généralisation simple de choses bien connues, mais vous présente ensuite quelques nouveautés importantes, notamment les notions d’injection et de surjection. Dans tout ce chapitre, E, F, G ... sont des ensembles QUELCONQUES. 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES APPLICATIONS Qu’est-ce qu’une fonction ? On se contente généralement de dire ce qu’une fonction FAIT pour éviter d’avoir à dire ce qu’elle EST : « Une fonction associe à tout élément d’un ensemble un unique élément d’un autre ensemble. » Ceci hélas n’est pas une définition, quel est donc ce quelque chose qui « associe » une chose à une autre ? Intuitivement, une fonction c’est une figure, une courbe, un graphe. La fonction x 7−→x2 par exemple peut être vue comme l’ensemble des points du plan de coordonnées x, x2 , x décrivant R. On vous a sans doute expliqué qu’il ne faut pas confondre une fonction et sa courbe représentative. Avec la définition qui suit au contraire, toute fonction EST son graphe. Définition (Application/fonction, ensemble de définition/d’arrivée, image et antécédents d’un point, image d’une application) • On appelle application (ou fonction) de E dans F toute partie f de E × F telle que : ∀x ∈E, ∃! y ∈F/ (x, y) ∈f. La présence du pseudo-quantificateur « ∃! » permet de noter f (x) l’unique y ∈F de la proposition ci-dessus. La proposition « (x, y) ∈f » n’est donc en fait jamais notée ainsi mais plutôt « y = f (x) ». • L’ensemble E est appelé l’ensemble de définition (ou de départ) de f . L’ensemble F est quant à lui appelé un ensemble d’arrivée de f . • Pour tout x ∈E, f (x) est appelé L’image de x par f . Pour tout y ∈F, tout élément x de E pour lequel : y = f (x) est appelé UN antécédent de y par f .  Explication  • La figure de droite ci-contre ne représente pas une fonction de E dans F car à un x donné se trouvent associées plusieurs valeurs de f (x). E F x b b b ց f (x) → f (x) ←f (x) E F y b b b x1 x2 x3 À gauche, y possède plusieurs antécédents par f , on parle d’UN antécédent et non de « l’ » antécédent de y. • Conformément au programme, les mots « fonction » et « application » seront pour nous parfaitement synonymes. Vous trouverez peut-être dans certains ouvrages non scolaires deux définitions distinctes attachées à ces deux noms, mais n’y prêtez pas attention, c’est vraiment sans importance. E F b b x f (x) f E F y = f (x) • On représente classiquement les applications de deux façons — soit au moyen de « patates » (fi- gure de gauche), soit au moyen d’un graphe (figure de droite). 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Définition (Image directe d’une partie, image d’une application) Soit f : E −→F une application. • Pour toute partie A de E, on appelle image (directe) de A par f , notée f (A), l’ensemble : f (A) = ¦ y ∈F/ ∃a ∈A/ y = f (a) © =  f (a) a∈A. • L’image de E tout entier est simplement appelée l’image de f et notée généralement Im f plutôt que f (E). E F տ ր A ր ց f (A)  Explication  L’image f (A) de A par f est l’ensemble des images par f des éléments de A. Graphiquement, pour déterminer f (A), on projette sur l’axe des ordonnées la portion du graphe de f qui se situe au-dessus de A, comme l’illustre la figure de droite. Im f On fait pareil pour déterminer graphiquement l’image Im f de f , mais avec le graphe de f tout entier. Exemple • L’image de la fonction z 7−→Re(z)2 est R+, l’image de la fonction x 7−→ix est l’ensemble iR des imaginaires purs et l’image de la fonction θ 7−→eiθ est l’ensemble U. • L’image de πZ par la fonction sinus est  0 , l’image de [0,π] est [0,1], l’image de h −π 2 , π 2 i est [−1,1] et l’image de [0,2π] est aussi [−1,1]. Définition (Expression « à valeurs dans. . . ») Soient f : E −→F une application et B une partie de F. On dit que f est à valeurs dans B si toute valeur de f est élément de B, i.e. si : ∀x ∈E, f (x) ∈B, ou encore si : Im f ⊂B. $ ATTENTION ! $ En général, Im f est plus petit que F ! E F Im f b b x f (x) f E F Im f Définition (Image réciproque d’une partie) Soient f : E −→F une application et B une partie de F. On appelle image réciproque de B par f l’ensemble : ¦ x ∈E/ f (x) ∈B © , que nous noterons PROVISOIREMENT f ←(B). B E F տ ր f ←(B)  Explication  Par définition, f ←(B) est l’ensemble des éléments de E dont l’image par f appartient à B. Géométriquement, pour déterminer f ←(B), on projette sur l’axe des abscisses la portion du graphe de f située dans le tube horizontal défini par B. Pour tout x ∈E : x ∈f ←(B) ⇐⇒ f (x) ∈B.  En pratique  Pour une fonction f de R dans R, chercher l’image réciproque d’un singleton  y par f revient à résoudre l’équation : y = f (x) d’inconnue x, alors que pour un intervalle [a, b], cela revient à résoudre l’inéquation : a ⩽f (x) ⩽b. Exemple • L’image réciproque de R+ par la fonction exponentielle est R tout entier. L’image réciproque de [1,2[ est [0,ln 2[ — inéquation : 1 ⩽ex < 2 d’inconnue x ∈R. • L’image réciproque de  1 par la fonction sinus est π 2 + 2πZ — équation : sin x = 1 d’inconnue x ∈R. L’image réciproque de [2,3] est vide — inéquation : 2 ⩽sin x ⩽3 d’inconnue x ∈R. • L’image réciproque de [4,+∞[ par la fonction carrée est ]−∞,−2]∪[2,+∞[ — inéquation : x2 ⩾4 d’inconnue x ∈R. 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Définition (Ensemble d’applications) L’ensemble des applications de E dans F est noté F E ou F(E, F). $ ATTENTION ! $ Ne confondez pas F E et E F ! Définition (Famille) Soit I un ensemble. On appelle famille (d’éléments) de E indexée par I toute application de I dans E. Les familles, au lieu d’être notée comme des applications, sont presque toujours notées sous la forme (xi)i∈I. L’ensemble des familles de E indexée par I est naturellement noté E I.  Explication  Une famille (x1,... , xn) d’éléments de E n’est rien de plus que l’application f de ⟦1, n⟧dans E définie par les relations : f (1) = x1, ..., f (n) = xn, qui associe à chaque position l’élément qui lui correspond. Exemple L’ensemble des suites réelles est l’ensemble RN, celui des suites complexes CN. Définition (Composition) Soient f : E −→F et g : F −→G deux applications. L’application  E −→ G x 7−→ g f (x)  est appelée la composée de f suivie de g et notée g ◦f . $ ATTENTION ! $ Rappelons que la composition, en général, n’est possible que dans un seul sens, et quand elle est possible dans les deux, on n’a aucune raison d’avoir : f ◦g = g ◦f . Définition (Identité) On appelle identité de E et on note IdE l’application x 7−→x de E dans E. Théorème (Propriétés de la composition) Soient f : E −→F, g : F −→G et h : G −→H trois applications. • Associativité : h ◦ g ◦f  = h ◦g  ◦f . • Neutralité de l’identité : IdF ◦f = f ◦IdE = f . Démonstration Pour tout x ∈E : € h ◦(g ◦f ) Š (x) = h € (g ◦f )(x) Š = h € g f (x) Š = (h ◦g) f (x)  = € (h ◦g) ◦f Š (x). ■ Définition (Restriction et prolongements) Soit A une partie de E. • Soit f : E −→F une application. On appelle restriction de f à A l’application notée f A de A dans F définie par : ∀x ∈A, f A(x) = f (x). • Soit f : A −→F une application. On appelle prolongement de f à E toute application g de E dans F telle que : ∀x ∈A, f (x) uploads/s3/ cours-injections-surjections-bijections-pdf.pdf

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