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Université Libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Exercices et corrigé

Université Libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Exercices et corrigés de CdI-1 Version β Ivik Swan Nicolas Richard Laurent Claessens Dernière modiﬁcation : 22 novembre 2010 http://student.ulb.ac.be/~lclaesse/ 2 Table des matières Introduction 9 1 Rappels du secondaire 11 1.1 Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Déﬁnitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Forme polaire ou trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Rappels 15 2.1 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Rappels et déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Critère d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Critère du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Critère de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Critère d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Série de puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Rappels et outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Développements de Taylor et Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Exemple : un calcul heuristique de limite . . . . . . . . . . . 22 2.4 Équations diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1 Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.2 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Topologie en général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Topologie dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.1 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.2 Intérieur, adhérence et frontière . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.3 Bornés et compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.4 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 4 TABLE DES MATIÈRES 2.7 Topologie des espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8 Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9 Maximisation sans contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9.1 Fonctions à une seule variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9.2 Fonctions à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.9.3 Quelque mots à propos de matrices . . . . . . . . . . . . . . 30 2.9.4 Les théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.10 Limites à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.11 Diﬀérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.11.1 Le pourquoi et le comment de la dérivée . . . . . . . . . . . 33 2.11.2 Dérivée partielle et directionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 34 Quelque propriétés et notations . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.11.3 Diﬀérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.11.4 Gradient et recherche du plan tangent . . . . . . . . . . . . 37 2.11.5 Diﬀérentielle comme élément de l’espace dual . . . . . . . . 38 2.11.6 Prouver qu’un fonction n’est pas diﬀérentiable . . . . . . . . 39 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Cohérence des dérivées partielles et directionnelle . . . . . . 40 Un candidat dans la déﬁnition (marche toujours) . . . . . . 40 2.11.7 Calcul de diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.11.8 Notes idéologiques sur le concept de plan tangent . . . . . . 42 2.12 Jacobienne et calcul de diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.12.1 Rappels et déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.13 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.13.1 Intégrale sur un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.13.2 Intégrales sur d’autres domaines . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.13.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.14 Théorème de la fonction implicite . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ exercices-et-corriges-de-cdi-1-version-v.pdf