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Mathématiques Livret de travailde la 3e à la 2nde 7 juillet 2021 PRÉFACE Ce liv

Mathématiques Livret de travailde la 3e à la 2nde 7 juillet 2021 PRÉFACE Ce livret s’adresse aux élèves qui s’apprêtent à entrer en classe de seconde au lycée Henri-IV ou au lycée Louis-le-Grand. Il propose une sélection d’exercices couvrant une large partie du programme de troisième en mathématiques et a pour but de faire le point sur les connaissances et les techniques utiles à une entrée en seconde. Il n’est pas nécessaire de faire tous les exercices mais il paraît raisonnable de chercher au moins les plus faciles Les exercices présentent un pictogramme donnant une indication du niveau de difﬁculté. Les exercices ★✩ ✩✩et ★★ ✩✩mobilisent des connaissances et savoir faire usuels de ﬁn de troisième, les exercices ★★ ★✩ou ★★ ★★sont plus difﬁciles. Ces mentions sont d’une part subjectives, d’autre part relatives : le niveau d’ensemble des exercices proposés est assez élevé par rapport au programme de troisième. Ne pas trouver, même en y passant du temps, un exercice ne préjuge en rien d’une future réussite en seconde. Une solution non détaillée est proposée. Anne PARADAS ARROYO (lycée Louis-le-Grand) et Laurent LEMAIRE (lycée Henri-IV) Anne PARADAS ARROYO - Louis-le-Grand 2 Laurent LEMAIRE - Henri-IV EXERCICES I Calcul fractionnaire Ex 1 ★✩ ✩✩ Calculer puis donner les résultats sous forme de fraction ir- réductible. A = 1 3 + 2 5 × 3 4 B = µ1 3 + 2 5 ¶ × 3 4 C = µ1 3 + 2 5 ¶ ÷ 3 4 D = 4 7 −1 7 × 5 3 E = 3 7 −2 5 × 15 4 F = 3 5 + 2 3 9 4 +1 Ex 2 ★✩ ✩✩ Calculer puis donner les résultats sous forme de fraction ir- réductible. A = µ1 5 −2 4 ¶ × µ3 7 −1 2 ¶ B = µ3 7 −1 5 ¶ ÷ µ3 2 −5 4 ¶ C = 4 3 −1 3 × µ 3+ 1 2 ¶ D = µ1 4 −1 3 ¶ × µ3 4 −3 2 ¶ E = µ 1−2 3 ¶ ÷ µ 1+ 1 3 ¶ Ex 3 ★✩ ✩✩ Calculer les expressions suivantes lorsque a = 2 3, b = −3 2 et c = −3 4 . A = 3a −b −c B = −2a +4b −5c C = 6b2 −3a +5 D = 1 a + 1 b + 1 c E = a +c a −b Ex 4 ★✩ ✩✩ Calculer la valeur de F = x +5y x lorsque 1) x = 2 3 et y = −4 2) x = −4 et y = −8 5 3) x = −1 2 et y = 7 10 4) x = −2 3 et y = 2 15 Ex 5 ★✩ ✩✩ Calculer puis donner les résultats sous forme de fraction ir- réductible. A = 2 3+ 5 7 2 3× 5 7 B = 5+ 3 4 −1 3 5−3 4 + 1 3 C = 1 5 −3 4 × 2 3 µ1 5 −3 4 ¶ × 2 3 Ex 6 ★✩ ✩✩ Quel est le nombre qu’il faut ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction 5 8 pour que la nouvelle fraction soit égale à 4 ? Ex 7 ★★ ✩✩ Trouver le nombre caché à la place de ♠et de ♣. 1) 87 60 = 1 2 + 1 4 + 1 3 + 1 6 + 1 ♠ 2) 31 17+ 101 8−7 ♣ = 2015 2014 II Puissances Ex 8 ★✩ ✩✩Formules ⋆Série 1 Écrire les nombres sous la forme 3n avec n entier relatif. A = 35 ×32 3−7 B = (32 ×33)4 C = 32 ×(33)4 D = ¡ (−3)2 ×32¢3 (−3)5 E = ¡ (−3)2¢3 (−3)3 ×(−3) F = 3−2 ×9−8 34 ×27−17 G = µ 1 35 × ¡ 32¢3 ¶2 H = 32 ×27 812 ⋆Série 2 Écrire les nombres sous la forme an avec a entier naturel et n entier relatif. A = 24 ×4−5 B = 25 ×8−3 C = 83 43 D = 0,25−6 ×4−25 E = 54 ×25−7 ×1252 F = 76 ×(−49)5 7−9 ⋆Série 3 Écrire les nombres sous la forme 2n ×5m avec n et m entiers relatifs. A = 24 (22 ×5)5 B = 2×(52)3 2−3 C = ¡ 23 ×2−4¢2 (53)2 ×5−5 D = (102)3 2−4 ×(25)6 E = µ2 5 ¶4 × µ52 2 ¶3 F = 643 ×1254 2507 Ex 9 ★★ ✩✩Nombre de chiﬀres Déterminer le nombre de chiffres de 416 ×525. Ex 10 ★★ ✩✩Somme des chiﬀres Déterminer la somme des chiffres du nombre 102 046 −2 046 Ex 11 ★✩ ✩✩ En ajoutant 415 et 810, on obtient une puissance de 2. La- quelle ? Ex 12 ★★ ✩✩ Dans chacun des cas, déterminer l’entier naturel n. 1) 24 ×32 ×56 ×72 = n2 2) 23 ×36 ×53 ×73 = n3 3) µ45 +45 +45 +45 35 +35 +35 ¶µ65 +65 +65 +65 +65 +65 25 +25 ¶ = 2n Anne PARADAS ARROYO - Lycée Louis-le-Grand 3 Laurent LEMAIRE - Lycée Henri-IV 4) 32001 +32002 +32003 = n ×32001 5) 8n = 2n ×212 Ex 13 ★★ ✩✩Calculs algébriques Soient a et b des nombres non nuls. Écrire les expressions sous la forme an ×bm avec n et m entiers relatifs. ⋆Série 1 A = a2b−3 a−2b B = a6b−4 a10b−8 C = (a2b)3 ba−2 D = (ab2)−1 (a2b3)2 ⋆Série 2 A = a2(ab)−3(b−2)−3 B = (ab2)−1 a−2b−7 C = (a3b)3(a2b5)5 D = (ab3)−4(a−2b)2 a−6b4 III Entiers Ex 14 ★★ ✩✩Chiﬀres manquants Remplacer • par des chiffres aﬁn que les nombres obtenus vériﬁent la condition donnée. Écrire toutes les solutions pos- sibles. 1) 5• 8•2 est divisible par 9. 2) 3 •5• est divisible par 9 et par 2. 3) 34• 45• est divisible à la fois par 5 et par 9. 4) 1 •3• est divisible par 15. 5) •23 45• est divisible par 11 et par 3. Ex 15 ★✩ ✩✩pgcd et ppcm On considère les nombres 4 116 et 2 156. 1) Donner leur décomposition en facteurs premiers. 2) Déterminer leur PGCD et leur PPCM. 3) Lequel de ces deux nombres a le plus de diviseurs ? Ex 16 ★✩ ✩✩Simpliﬁcation de fraction En utilisant la décomposition en facteurs premiers, simpli- ﬁer au maximum les fractions. A = 71 610 20 790 B = 374 850 350 350 C = 2 635 1 274 D = 4 923 765 980 980 Ex 17 ★★ ✩✩ Décomposer 111 111 en produit de facteurs premiers. Ex 18 ★★ ✩✩Nombre de zéros Par combien de zéros se terminent les nombres suivants ? A = 1×2×3×4×··· ×9×10 B = 1×2×3×4×··· ×99×100 C = 100×101×102×103×··· ×998×999 Ex 19 ★✩ ✩✩Organigramme Entrer le nombre 437 dans l’organigramme suivant, quel nombre obtient-on à la sortie ? Ex 20 ★✩ ✩✩Organigramme 1) Quel nombre entier faut-il entrer dans l’organigramme suivant pour obtenir 39 à la sortie ? [3 solutions] 2) Quel nombre entier faut-il entrer dans l’organigramme suivant pour obtenir 24 à la sortie ? [7 solutions] IV Calcul littéral Ex 21 ★✩ ✩✩ Distributivité simple Développer et simpliﬁer. ⋆Série 1 A = a ×(a +3) B = (x2 +4)× x C = a ×(a2 + a) D = a ×(a2 +1) E = a ×(3a +6) F = b ×(3b2 +5b) G = (7b2 −6b)×b H = x ×(5x2 +2x) I = (a2 +2a)× a ⋆Série 2 A = x2 ×(2x + x2) B = (2x2 −5)×3x2 C = 7a3 ×(3a3 +2a) D = (3a −9a2)× a2 E = 5x2 ×(8x −9) F = 3x ×(5x2 −3x) ⋆Série 3 A = 2xy(x2y + x) B = (2ab −4ab2)3a2b C = 5y2(y3 −2x2y +1) D = (3a3 −2a2b −1)4ab E = 2x3(3xy + x) F = (2a2b −3b)ab Ex 22 ★✩ ✩✩Double distributivité Développer et simpliﬁer. ⋆Série 1 Anne PARADAS ARROYO - Louis-le-Grand 4 Laurent LEMAIRE - Henri-IV A = (3t −2)(7t −4) B = (4s −1)(2s +5) C = (3x +5)(2x −1) D = (7y −3)(2y −1) E = (x +3y)(2x −y) F = (4x −5y)(x −y) ⋆Série 2 A = (3x2 −5)(2x2 +1) B = (a2b +3a)(2a2b −a) C = (5ab −2b)(ab −4b) D = (3y2 −5x)(3x +5y2) E = (2x2 −3x)(−4x +5x2) F = (−2x2 −5y)(−x −4y2) ⋆Série 3 A = (2a3 −7b)(−7a +3b2) B = (5abc −2ab)(12ab −15abc) C = (5ab2 +3a2b)(−4a2b +3ab2) D = (2a3b −7ab3)(−a3b +2ab3) Ex 23 ★✩ ✩✩Identités remarquables Développer et simpliﬁer. ⋆Série 1 A = (7x −2y)2 B = (4a −2b)2 C = (3a +2b)2 D = (7x −12y)2 E = (2b −7c)2 F = (x −7y)(x +7y) ⋆Série 2 A = (3a −2b)2 B = (2−2b)2 C = (6a +b)2 D = (3x−z)(3x+z) E = (4a −7)2 F = (10a −7b)2 ⋆Série 3 A = (2a −b2)2 B = (2a2 +b)2 C = (3x2 −y)(3x2 + y) D = (3a2 −2b3)2 E = (x3 + y3)(x3 −y3) F = µ 3x2 −1 3 x ¶2 Ex 24 ★★ uploads/s3/ livret-3eme-2nde.pdf