Planche no 15. Calculs de primitives et d’intégrales : corrigé Exercice no 1. 1

Planche no 15. Calculs de primitives et d’intégrales : corrigé Exercice no 1. 1) Pour tout réel x de ]0, +∞[, 3x3 −7x 3 √x + 3√x −1 x − 4 4 √x 7 + 2 x√x −1 x2 + 1 4x3 + 1 4x4 = 3x3 −7x4/3 + 3x1/2 −1 x −4x−7/4 + 2x−3/2 −1 x2 + 1 4x3 + 1 4x4 , et donc les primitives sur ]0, +∞[ de la fonction considérée sont les fonctions de la forme x 7→3x4 4 −7x7/3 7/3 + 3x3/2 3/2 −ln x −4x−3/4 −3/4 + 2x−1/2 −1/2 + 1 x − 1 8x2 − 1 12x3 + C, C ∈R, ou encore x 7→3x4 4 −3x2 3 √x + 2x√x −ln x + 16 3 4 √x 3 −4 √x + 1 x − 1 8x2 − 1 12x3 + C, C ∈R. 2) Pour tout réel x, (x −1)ex2−2x = 1 2(2x −2)ex2−2x et donc les primitives sur R de la fonction x 7→(x −1)ex2−2x sont les fonctions de la forme x 7→1 2ex2−2x + C, C ∈R. 3) Soit I un intervalle sur lequel x2 −1 ne s’annule pas. Pour tout réel x de I, x (x2 −1)3 = 1 2 2x (x2 −1)3 et donc les primitives sur I de la fonction x 7→ x (x2 −1)3 sont les fonctions de la forme x 7→− 1 4 (x2 −1)2 + C, C ∈R. 4) Soit I un intervalle sur lequel x3 + 9x −5 est positif. Pour tout réel x de I, x2 + 3  √ x3 + 9x −5 = 1 3(3x2 + 9) x3 + 9x −5 1/2 et donc les primitives sur I de la fonction x 7→ x2 + 3  √ x3 + 9x −5 sont les fonctions de la forme x 7→1 3 x3 + 9x −5 3/2 3/2 + C = 2 9 x3 + 9x −5 3/2 + C, C ∈R. 5) Pour tout réel x, 2x + 1  3 √ x2 + x + 1 2 = (2x + 1) x2 + x + 1 −2/3 et donc les primitives sur R de la fonction x 7→ 2x + 1  3 √ x2 + x + 1 2 sont les fonctions de la forme x 7→ 1 1/3 x2 + x + 1 1/3 + C = 3 3 √ x2 + x + 1 + C, C ∈R. 6) Pour tout réel x de  −1 2, 1 2  , 2 √ 1 −4x2 = 2 p 1 −(2x)2 et donc les primitives sur  −1 2, 1 2  de la fonction x 7→ 2 √ 1 −4x2 sont les fonctions de la forme x 7→Arcsin(2x) + C, C ∈R. 7) Pour tout réel x, 1 1 + 4x2 = 1 2 × 2 1 + (2x)2 et donc les primitives sur R de la fonction x 7→ 1 1 + 4x2 sont les fonctions de la forme x 7→1 2 Arctan(2x) + C, C ∈R. 8) Pour tout réel x, 1 4 + x2 = 1 22 + x2 et donc les primitives sur R de la fonction x 7→ 1 4 + x2 sont les fonctions de la forme x 7→1 2 Arctan x 2  + C, C ∈R. 9) Pour tout réel x, 1 x2 + x + 1 = 1  x + 1 2 2 + √ 3 2 !2 et donc les primitives sur R de la fonction x 7→ 1 x2 + x + 1 sont les fonctions de la forme x 7→ 1 √ 3/2 Arctan    x + 1 2 √ 3/2   + C, C ∈R, ou encore les fonctions de la forme http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. x 7→ 2 √ 3 Arctan 2x + 1 √ 3  + C, C ∈R. 10) I est l’un des deux intervalles ]0, 1[ ou ]1, +∞[. Pour tout réel x de I, 1 x ln x = 1/x ln x et donc les primitives sur R de la fonction x 7→ 1 x ln x sont les fonctions de la forme x 7→ln |ln(x)| + C, C ∈R. 11) Pour tout réel x de R, 1 1 + e−x = 1 1 + 1 ex = ex ex + 1 et donc les primitives sur R de la fonction x 7→ 1 1 + e−x sont les fonctions de la forme x 7→ln (1 + ex) + C, C ∈R. 12) I désigne un intervalle sur lequel x −sin x ne s’annule pas. Pour tout réel de I, sin2(x/2) x −sin x = 1 2 × 1 −cos x x −sin x et donc les primitives sur I de la fonction x 7→sin2(x/2) x −sin x sont les fonctions de la forme x 7→1 2 ln |x −sin x| + C, C ∈R. 13) I désigne un intervalle sur lequel x −sin x ne s’annule pas. Pour tout réel de I, sin2(x/2) (x −sin x)3 = 1 2 × 1 −cos x (x −sin x)3 et donc les primitives sur I de la fonction x 7→ sin2(x/2) (x −sin x)3 sont les fonctions de la forme x 7→− 1 4 (x −sin x)2 , C ∈R. 14) Z x e x ln x dx = Z (x ln x −x)′ex ln x−x dx = ex ln x−x + C = x e x , C ∈R. Exercice no 2. 1) Z ln x dx = x ln x − Z x × 1 x dx = x ln x − Z 1 dx = x ln x −x + C, C ∈R. 2) Z x ln x dx = x2 2 ln x − Z x2 2 × 1 x dx = x2 2 ln x −1 2 Z x dx = x2 2 ln x −x2 4 + C, C ∈R. 3) Z ln(x + 1) dx = (x + 1) ln(x + 1) − Z (x + 1) × 1 x + 1 dx = (x + 1) ln(x + 1) − Z 1 dx = (x + 1) ln(x + 1) −x + C, C ∈R. 4) Z Arcsin x dx = x Arcsin x − Z x √ 1 −x2 dx = x Arcsin x + p 1 −x2 + C, C ∈R. 5) Z Arctan x dx = x Arctan x − Z x 1 + x2 dx = x Arctan x −1 2 ln(1 + x2) + C, C ∈R. 6) Z Arccos x dx = x Arccosx + Z x √ 1 −x2 dx = x Arccosx − p 1 −x2 + C, C ∈R. 7) Z xe−x dx = −xe−x + Z e−x dx = −xe−x −e−x + C = −(x + 1)e−x + C, C ∈R. 8) Z x2 −3x + 1  ex dx = x2 −3x + 1  ex − Z (2x −3)ex dx = x2 −3x + 1  ex −(2x −3)ex + 2 Z ex dx = x2 −3x + 1  ex −(2x −3)ex + 2ex + C = x2 −5x + 6  ex + C, C ∈R. 9) Z (1 −x)e−2x dx = (1 −x)e−2x −2 −1 2 Z e−2x dx = 1 2(x −1)e−2x + 1 4e−2x + C = 1 4(2x −1)e−2x + C, C ∈R. 10) Z ln 1 + x2 dx = x ln 1 + x2 −2 Z x2 + 1 −1 x2 + 1 dx = x ln(1 + x2) −2x + 2 Arctan x + C, C ∈R. 11) Z eArccos x dx = xeArccos x + Z x √ 1 −x2 eArccos x dx = xeArccos x − p 1 −x2eArccos x + Z p 1 −x2 −1 √ 1 −x2 eArccos x dx et donc, Z eArccos x dx = 1 2  x − p 1 −x2  eArccos x + C, C ∈R. http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. 12) Z cos x ln(1 + cos x) dx = sin x ln(1 + cos x) − Z sin x −sin x 1 + cos x dx = sin x ln(1 + cos x) − Z cos2 x −1 cos x + 1 dx = sin x ln(1 + cos x) − Z (cos x −1) dx = sin x ln(1 + cos x) −sin x + x + C, C ∈R. 13) x (x + 1)2 ex = x + 1 −1 (x + 1)2 ex = 1 x + 1ex − 1 (x + 1)2 ex =  1 x + 1ex ′ et donc Z xex (x + 1)2 dx = ex x + 1 + C, C ∈R. 14) Z xn ln x dx = xn+1 n + 1 ln x − 1 n + 1 Z xn dx = xn+1 n + 1 ln x − xn+1 (n + 1)2 + C, C ∈R. 15) 1ère solution. Z uploads/s3/ 15-primitives-corrige.pdf

Tags
Administrationfonctions primitives fonction forme arctan
Documents similaires
  • 31
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager