Loi de probabilités Variables aléatoires : Déf : Soit Oméga un univers. On appe
Loi de probabilités Variables aléatoires : Déf : Soit Oméga un univers. On appelle variable aléatoire toute application qui transforme les évènements de Oméga en des nombres réels. 2) Loi de probabilité Soit X une V.A. La loi de probabilité de X est donnée par les probabilités de réalisation des différentes valeurs de X. X X1 X2 … Xn Total P(X) P1 P2 … Pn 1 P(X=X1) = P1 P(X=X2) = P2 P(X=Xn) = Pn La loi de probabilité se note (xi ; pi) 3) Espérance mathématiques On considère une V.A X et sa loi (xi ; pi) L’espérance mathématique de X est définie par : E(X) = X1P1+X2P2+…+XnPn = N barre C’est à dire : E(X) = Somme de XiPi Remarque : l’espérance E(X) s’interprète comme une moyenne 4) Variance et écart type Variance définie par : V(X) = Somme de [Xi-E(X)] au carré * Pi Ou : V(X) = E(X au carré) – [E(X)] au carré Écart type : Sigma (x) = racine carré de V(X) 5) Propriétés 5.1 Espérance d’une somme Soient X et Y deux variables aléatoires. On a : E(X+Y) = E(X) + E(Y) Soient X1, X2, …, Xn n variables aléatoires indépendantes. On a : E(Somme de Xi) = Somme de E(Xi) 5.2 Cas de la variance Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. On a : V(X+Y) = V(X) + V(Y) 5.3 Cas de l’écart type Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. On a : Sigma (X+Y) = Racine carré (Sigma (X au carré) + Sigma (Y au carré)) Loi normale : Déf : Une loi normale est définie par deux paramètres : Une moyenne m et un écart type sigma Notation : N(m ; sigma) Il existe une infinité de loi normale (une pour chaque m et sigma) 2) Loi normale centrée réduite Déf : La loi est dite centrée si m=0, elle est réduite si sigma=1 donc notation N(0 ;1) Courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses = 1 (100%) Courbe et probabilités Soit X une variable aléatoire suivant la loi (0 ; 1) Soient a et b deux valeurs réelles La proba p(a<X<b) est représentée par l’aire suivante Propriétés a) p(a<X<b) = p(a<ou égal X <ou égal b) b) p(X >ou égal a) = 1 – p(X(a)) c) p(X<-a) = P(X> ou égal a) = 1 – p(X(a)) d) P(X> ou égal -a) = p(X<ou égal a) e) p(a<X<b) = p(X<b) – p(X<a) 3) Loi normale quelconque Soit X une variable suivant la loi N(m ; sigma) avec m et sigma quelconques. Soient a et b 2 valeurs réelles. On veut calculer P(a<X<b) On a pas la table N(m ; Sigma) mais on peut se ramener à la loi N(0 ; 1) par le changement de variable suivant. T = (X-m)/sigma La variable T suit la loi N(0 ; 1) P(a<X<b) = P((a-m)/sigma < T < (b-m)/sigma) = P( T<(b-m)/sigma) – P(T<(a-m)/sigma) uploads/s3/ loi-de-probabilites.pdf
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- Publié le Sep 30, 2022
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