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Document disponible à http://www.univ-montp3.fr/miap/ens/AES/XA101M/index.html. XA101M – méthodologie mathématique Année 2003–2004 Fiche d’exercices 1 : puissances entières et rationnelles 1    SAVOIR ' & $ % Puissances entières positives et négatives Définition . — Soit n ≥1 un entier naturel, la puissance ne d’un réel x est le produit de n facteurs égaux à x, on le note xn et on lit « x à la puissance n ». On a donc xn = x × x ···× x | {z } n fois . Règles de calcul avec les puissances entières . — Pour tous réels x, y et pour tous entiers naturels n ≥1 et m ≥1, on a : Table 1 Propriétés Exemples (1) xnxm = xn+m 2527 = 25+7 = 212 (2) (xn)m = xnm (25)7 = 25×7 = 235 (3) ¡ xy ¢n = xny n 610 = (2×3)10 = 210 ·310 (4) µx y ¶n = xn y n (où y ̸= 0) µ2 3 ¶4 = 24 34 Identités remarquables . — (savoir au moins la première colonne) (a + b)2 = a2 +2ab + b2 (a + b)3 = a3 +3a2b +3ab2 + b3 (a −b)2 = a2 −2ab + b2 (a −b)3 = a3 −3a2b +3ab2 −b3 a2 −b2 = (a −b)(a + b) a3 −b3 = (a −b)(a2 + ab + b2) Extension de la définition aux exposants négatifs . — On peut généraliser la définition de xn aux exposants négatifs ou nuls, pour cela il faut que x ̸= 0, et on pose les définitions suivantes : Définitions (x ̸= 0 et n ∈N) Exemples x0 = 1 20 = 1 x−n = 1 xn 3−2 = 1 32 = 1 9 Et les règles de calcul exposées dans la table 1 sont encore vraies. En particulier : Propriétés (x ̸= 0 et n,m ∈Z) Exemples xn xm = xn−m 25 22 = 25−2 = 23 = 8 xn xm = 1 xm−n 22 25 = 1 25−2 = 1 23 = 1 8 2 — EXERCICES — I) Simplifier les expressions suivantes. 1) x7x5x3 2) ¡ (x7)5¢3 3) (4a2b)3 4) a11 a5 5) a5 a11 6) (2a3b2c)4 7) µ1 2x7 ¶ (8x8) 8) (5x3y2)(4x3y5) 9) (2x4)(5x6) (10x2)4 10) (9y6)4 (3y5)−3 11) µ1 6a5 ¶ (−3a−7)(2a2) 12) (u−2v3)−4 13) µ a5b 2a7b2 ¶−3 14) (2x4y−6) µ1 4x−3y2 ¶¡ 6x−1y3¢ 15) 16x−4y2 8x3y−6 16) µ(2x3y2)2 z2 ¶3 µ z2 x4y ¶4 17) µ3x5y4 x0y−3 ¶2 18) (−2x3y2)5 µ x7 8y3 ¶−2 19) 2a4b4(c−1)3 a−2b3c4 3(a−1b−2c)2 ac2 20) µ a4b−4 (a−2b3)−2 ¶3 µ4(a−3b2)3 a8b−10 ¶−2 . II) Utiliser les identités remarquables pour transformer les expressions suivantes. 1) x4 +2x2y3 + y6 2) z6 −2z3t 8 + t 16 3) 2r −1−r2    SAVOIR ' & $ % Racines carrées, racines cubiques, racines qe Définition . — Soit a et b deux nombres réels positifs et q un entier naturel non nul, on dit que b est la racine qe de a si on a bq = a. On note ce nombre b par q pa ou par a 1 q . Remarques . — Pour q = 1 on a 1 pa = a et pour q = 2 on écrit pa au lieu de 2 pa. On lit alors « racine carrée de a » au lieu de « racine deuxième de a ». Lorsque q = 3, on dit « racine cu- bique » plutôt que « racine troisième ». Propriétés . — Soit p ≥1 et q ≥1 des entiers naturels et a,b des réels positifs ou nuls on a : Propriétés Exemples (0) 0 1 q = 0 (1) 1 1 q = 1 (2) (a 1 q )q = a ( p 3)2 = 3;(5 1 4 )4 = 5 (3) a 1 p a 1 q = a( 1 p + 1 q ) 2 1 3 2 1 4 = 2( 1 3 + 1 4 ) = 2 7 12 (4) a 1 q b 1 q = (ab) 1 p 2 1 4 3 1 4 = 6 1 4 ; p 50 = p 25×2 = p 25 p 2 = 5 p 2 (5) (a 1 q ) 1 q = a 1 pq 3 p 4 p 2 = ³ 2 1 4 ´ 1 3 = 2 1 12 = 12 p 2 (6) ³a b ´ 1 q = a 1 q b 1 q 3 r 3 8 = µ3 8 ¶ 1 3 = 3 1 3 8 1 3 = 3 p 3 2 — EXERCICES — III) 1) La racine carrée d’un nombre peut–elle être strictement négative ? 2) Et la racine cubique d’un nombre ? 3) Combien existe-t’il de nombres x tel que x2 = 4 ? 4) Combien existe-t’il de nombres x tel que x3 = 8 ? 5) Combien existe-t’il de nombres x tel que x2 = −4 ? 6) Combien existe-t’il de nombres x tel que x3 = −8 ? 3 IV) Calculer : 1) p 16 2) 16 1 4 3) 27 1 3 4) p 72 5) p (−7)2 6) p 56 7) p 32 +52 8) p (3+5)2 9) (pα)2 10) p α2 11) ( p 6− p 2)2 12) (2+ p 3)2. V) Simplifier : 1) 6 1 3 ×4 1 3 2) p 24+ p 54− p 6 3) p 12+2 p 27+3 p 75−9 p 48 4) 3 1 4 4 p 6 pp 2 5) q (4a 1 2 )(2a 1 2 ) 6) q ( p 7+2)2 + q ( p 7−2)2 7) q (2+ p 7)2 + q (2− p 7)2.    SAVOIR ' & $ % Puissances rationnelles Conventions d’écriture . — Soit a ∈R, a ≥0. Pour tout p ∈Z et q ∈N∗on écrit a p q pour repré- senter le nombre (ap) 1 q . Et pour tout nombre rationnel r représenté par p q , on écrit ar = a p q . Règles de calcul . — Pour tous a,b ∈R, a ≥0, b ≥0, p ∈Z et q ∈N∗, r,r′ ∈Q Propriétés (1) a p q = (ap) 1 q = ³ a 1 q ´p (2) arar′ = ar+r′ (3) (ar)r′ = ar×r′ (4) ar/ar′ = ar−r′ (avec a ̸= 0) (5) (ab)r = arbr (6) ³a b ´r = ar br (où b ̸= 0) — EXERCICES — VI) Remplacer les points d’interrogation par des valeurs numériques adéquates : 1) 3 p 2× 4 p 5 = 12 p ? 2) p 3 × 3 p 5 = ? p 675 3) 3 p 2 × 5 p 2 = ? p ? 4) 4 p a3 × 6 p b5 = ? p a?b? 5) 6 paa? pa = a 6) 7 p a2 a? = 3 pa 7) ³ 7 p a2 3 pa ´2 = a? × ? p a5. VII) Simplifier les expressions suivantes : 1) p 4 ³ 3 pp 4 ´2 pp 2 2) 3 p 4 p 8 ³ 5 p 3 p 4 ´2 pp 2 3) 27−2 3 ×49 1 2 ×16 5 4 ¡ 5 p 243 ¢2 4) 3 p a5 ³ 4 p a7 ´2 ¡ a2¢2 5 p a2 6 p a3 5) 5 p 4 ³ 5 p 3 p 4 ´2 3 pp 2 6) p 3 p 2· 5 p 3 5 p 27· p 6 7) 15 p 3· 3 p 9 ¡ 4 p 9 ¢3 ³pp 3 ´2 8) 16 p 9· 3 p 9 ³pp 9 ´3 ³ 5 pp 3 ´2 . 4    SAVOIR ' & $ % L’équation xn = a pour les nombres réels Quand on écrit a 1 q , a p q , pa, n pa, par définition a est un nombre positif et ces symboles repré- sentent des nombres positifs. Néanmoins on peut, grâce aux racines rationnelles, exprimer les solutions réelles x de l’équation xn = a, où n et a sont respectivement un entier et un nombre réel. On doit considérer deux cas suivant la parité de n : 1er cas : n est pair (c’est–à–dire que n divisé par 2 est un entier). Comme on a xn ≥0 alors l’équation xn = a n’a de solution que si a ≥0. De plus si x est solution, alors −x est aussi solution. Il suffit donc de connaître les solutions positives de cette équation pour décrire toutes les solutions. Lorsque a ≥0 l’équation xn = a n’a qu’une seule solution réelle et positive : c’est n pa, et l’autre solution est −n pa. 2e cas : n est impair(c’est–à–dire que n divisé par 2 n’est pas un entier). Dans ce cas, même lorsque a est négatif, il y a des solutions. Si a ≥0, alors x ≥0 et par définition on a x = n pa. Cette solution est unique. Si a ≤0, posons b = −a et uploads/s3/ partages-proportionnels.pdf

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