Diplˆ ome National du Brevet Centres ´ Etrangers - Session 2008 L’emploi de la

Diplˆ ome National du Brevet Centres ´ Etrangers - Session 2008 L’emploi de la calculatrice est autoris´ e. La r´ edaction et la pr´ esentation seront not´ ees sur 4 points. Coefficient : 2 Dur´ ee : 2 heures Activit´ es num´ eriques (12 points) Exercice 1 On ´ ecrira les d´ etails des calculs sur la copie. 1. Soit le nombre A  4 5  7 5  10 4 Calculer A. On donnera le r´ esultat sous la forme d’une fraction irr´ eductible, puis on donnera sa valeur d´ ecimale. 2. Soit le nombre B  3  10 4  5  102 6 25  10 2 Calculer B. On donnera le r´ esultat sous la forme d’une ´ ecriture scientifique. Exercice 2 Dans cet exercice, toute trace de recherche, mˆ eme incompl` ete, ou d’initiative mˆ eme non fructueuse, sera prise en compte dans l’´ evaluation. ” Le nombre cach´ e : - Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400. - Je suis pair. - Je suis divisible par 11. - J’ai aussi 3 et 5 comme diviseur. Qui suis-je ? ” Expliquer une d´ emarche permettant de trouver le nombre cach´ e, et donner sa valeur. Exercice 3 1. R´ esoudre le syst` eme suivant : " 5x 4y 88 x 2y 26 2. Dans une grande surface, les DVD et les CD sont en promotion. Les DVD coˆ utent tous le mˆ eme prix. Les CD coˆ utent tous le mˆ eme prix. Paul ach` ete 5 DVD et 4 CD pour 88 A C . Louis ach` ete un DVD et 2 CD. Il paie 26 A C . Quel est le prix d’un DVD ? Quel est le prix d’un CD ? Exercice 4 Cet exercice est un questionnaire ` a choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, trois r´ eponses sont propos´ ees, une seule est exacte. Pour chaque question, indiquer son num´ ero sur la copie et recopier la r´ eponse. Aucune justification n’est demand´ ee. Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1 R´ eponse A R´ eponse B R´ eponse C 1. ? 32 est ´ egale ` a : 16 ? 2 8 ? 2 4 ? 2 2. ?9 16 est ´ egale ` a : 7 5 ? 3 ? 4 3. Pour tout nombre x, x2  100 est ´ egale ` a : px 10 qpx  10 q px  10 q2 px  50 q2 4. L’´ equation px  4 qp2x 5 q  0 a pour solution : 4 et 5 2 -4 et  5 2 4 et  5 2 5. Si x  ? 5 alors l’expression x2 3x  1 vaut : 4 3 ? 5 7 ? 5 24 3 ? 5 6. Si le cˆ ot´ e d’un carr´ e est multipli´ e par 3 alors son aire est multipli´ ee par : 3  4 32 3 Activit´ es g´ eom´ etriques (12 points) Exercice 1 La figure suivante n’est pas r´ ealis´ ee en vraie grandeur. L’unit´ e de longueur est le centim` etre. On donne : AB = 8 ; BC = 9 ; AC = 6 ; AE = 4 1. Les droites (DE) et (BC) sont parall` eles. Calculer AD. On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixi` eme de centim` etre. 2. Soit F le point tel que C, B et F sont align´ es dans cet ordre, avec BF = 6. D´ emonter que les droites (EF) et (AB) sont parall` eles. Exercice 2 1. Construire un triangle SKI rectangle en S tel que SK = 9,6 cm et KI = 10,4 cm. 2. Calculer SI. 3. Calculer la mesure de l’angle y SKI. On donnera l’arrondi au degr´ e. 4. En d´ eduire au degr´ e pr` es la mesure de l’angle y SIK. 5. a) O` u se situe le centre O du cercle circonscrit au triangle SKI ? b) Placer le point O sur la figure et tracer ce cercle. Calculer au degr´ e pr` es la mesure de l’angle y SOI. Probl` eme (12 points) Un cybercaf´ e propose ` a ses clients les trois tarifs suivants pour acc´ eder ` a Internet : Tarif A : abonnement 25 A C par mois pour une connexion illimit´ ee. Tarif B : 1,5 A C par heure de connexion. Fiche issue de http://www.ilemaths.net 2 Tarif C : abonnement 14 A C par mois et 0,50 A C par heure de connexion. 1. Compl´ eter le tableau suivant : Nombre d’heures de connexion par mois 6 heures 18 heures 24 heures x heures Prix (en A C ) Tarif A Tarif B Tarif C 2. On consid` ere les fonctions f, g et h d´ efinies de la fa¸ con suivante : f px q  25 g px q  1, 5x h px q  0, 5x 14 Tracer les repr´ esentations graphiques de ces trois fonctions dans le rep` ere orthogonal ci-dessous. Unit´ es graphiques : 1 cm pour 2 heures en abscisse, 1 cm pour 5 A C en ordonn´ ee. 3. Un premier client pense se connect´ e 8 heures ce mois-ci. D´ eterminer graphiquement le tarif le plus int´ eressant pour lui. On laissera apparents les traits de construction. 4. Un second client dispose de 24 A C . a) D´ eterminer graphiquement le tarif qui lui permettra de se connecter le plus longtemps possible. On laissera apparents les traits de construction. b) Retrouver ce r´ esultat par calcul. 5. R´ esoudre l’´ equation suivante : 1, 5x  0, 5x 14. Fiche issue de http://www.ilemaths.net 3 Interpr´ eter la r´ eponse obtenue. Fiche issue de http://www.ilemaths.net 4 Correction Activit´ es num´ eriques Exercice 1 1. Calculons A : A  4 5  7 5  10 4 A  4 5  7 5  5 2 A  4  2 5  2  7  5 5  2 A  8 10  35 10 A  8  35 10 A  27 10 (sous forme d’une fraction irr´ eductible) A = -2,7 (valeur d´ ecimale) 2. Calculons le nombre B : B  3  10 4  5  p102 q6 25  10 2 B  3  5  10 4  p1012 25  10 2 B  3  5  10 412 5  5  10 2 B  3  108p2q 5 B  3  108p2q 5 B  0, 6  1010 B  6  109 Exercice 2 Le nombre entier cherch´ e est pair, c’est donc un multiple de 2. Le nombre entier cherch´ e est divisible par 11, c’est donc un multiple de 11. Le nombre entier cherch´ e a aussi 3 et 5 comme diviseur, c’est donc un multiple de 3 et de 5. Les nombres 2, 3, 5 et 11 sont premiers, le nombre cherch´ e est donc un mutliple de 2  3  5  11, soit de 330. Or, le seul multiple de 330 compris entre 100 et 400 est 330. D’o` u : le nombre cherch´ e est 330. Exercice 3 1 R´ esolvons le syst` eme ` a l’aide de la m´ ethode par substitution : " 5x 4y 88 p1 q x 2y 26 p2 q On exprime x en fonction de y ` a l’aide de l´ equation (2) : x  26  2y. On remplace x par 26  2y dans l’´ equation (1), on obtient : 5 p26  2y q 4y  88 130  10y 4y  88  6y  88  130  6y  42 y  42 6 y  7 On a alors : x  26  2y  26  2  7  26  14 Fiche issue de http://www.ilemaths.net 5 x  12 V´ erifions : on a : 5  12 + 4  7 = 60 + 28 = 88 et 12 + 2  7 = 12 + 14 = 26 D’o` u : La solution du syst` eme est le couple (12 ; 7). 2. D´ eterminons le prix d’un DVD et celui d’un CD : Soit x le prix d’un DVD (x est un nombre positif), soit y le prix d’un CD (y est un nombre positif). On sait que Paul ach` ete 5 DVD ` a x euros et 4 CD ` a y euros pour 88 A C , donc 5x 4y  88. On sait que Louis ach` ete un DVD ` a x euros et 2 CD ` a y euros pour 26 A C , donc x 2y  26. On obtient alors le syst` eme suivant : " 5x 4y 88 uploads/s3/ ilemaths-maths-3-sujet-brevet-08-03-correction.pdf

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