MAT361 (Yvan Martel) Cours 3 : Topologie et espaces de fonctions 1. Compacité e

MAT361 (Yvan Martel) Cours 3 : Topologie et espaces de fonctions 1. Compacité en dimension infinie 1.1 Théorème de Riesz Le théorème de Riesz relie une propriété algébrique d’un espace vectoriel normé (la dimension) à une propriété topolo- gique (compacité des parties fermées et bornées). Théorème 1.1 Soit (E,∥· ∥) un espace vectoriel normé. La boule-unité fermée Bf (0,1) de (E,∥· ∥) est compacte si, et seulement si, E est de dimension finie. Remarques : — En toute dimension, les boules fermées d’un espace vec- toriel normé sont bornées (par définition) et fermées. — En dimension finie, nous avons vu dans le cours précé- dent que les parties compactes sont exactement les par- ties fermées et bornées; en particulier, les boules fermées sont compactes. — Pour prouver le théorème de Riesz, il reste donc à prou- ver l’implication dim(E) = ∞= ⇒B f (0,1) est non compacte. 1.2 Lemme de Riesz La démonstration du théorème de Riesz est basée sur le lemme suivant. Lemme 1.1 Soit (E,∥· ∥) un espace vectoriel normé. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de E, distinct de E. Alors, pour tout ε ∈]0,1[, il existe x ∈E tel que ∥x∥= 1 et inf y∈F ∥x−y∥⩾1−ε. Reformulation : ce lemme énonce que si F est un sous- espace vectoriel fermé strict d’un espace vectoriel normé E, alors pour tout ε ∈]0,1[ on peut toujours trouver un vecteur de la sphère unité de E qui est à distance supérieure à 1 −ε du sous-espace F. 1.3 Démonstration du lemme de Riesz Rappel : pour Y une partie de E et x ∈E, on note : d(x,Y) = inf y∈Y ∥x−y∥. Par définition d’une borne inférieure, on a d(x,Y) = 0 si et seulement si x ∈Y. En effet, ces deux conditions sont équi- valentes à l’existence d’une suite (yn)n⩾0 dans Y telle que limn→+∞yn = x. Preuve. Soit a / ∈F. Comme F est fermé, on a a / ∈F et donc d(a,F) > 0; on note α = d(a,F) > 0. Pour ε ∈]0,1[, on a α < α 1−ε et la définition de α = d(a,F) comme borne inférieure implique qu’il existe b ∈F tel que 0 < ∥a−b∥⩽ α 1−ε . On définit un vecteur de la sphère-unité de E en posant : x = a−b ∥a−b∥. 1.4 Démonstration du lemme de Riesz, suite et fin Soit y ∈F arbitraire. On a : ∥x−y∥= a−b ∥a−b∥−y = ∥a−(b+∥a−b∥y)∥ ∥a−b∥ . Comme b + ∥a −b∥y ∈F, on a ∥a −(b + ∥a −b∥y)∥⩾α, et donc : ∥x−y∥⩾ α ∥a−b∥. Finalement, comme ∥a−b∥⩽ α 1−ε ⇐ ⇒ α ∥a−b∥⩾1−ε, on obtient ∥x−y∥⩾ α ∥a−b∥⩾1−ε. Le lemme est démontré. 1.5 Tout sous-espace vectoriel de dimension finie est fermé On va aussi utiliser le lemme suivant pour prouver l’implica- tion non immédiate du théorème de Riesz. Lemme 1.2 Dans un espace vectoriel normé, un sous-espace vectoriel de dimension finie est fermé. Preuve. On utilise le critère séquentiel : soit (xn)n⩾0 une suite dans F, admettant une limite x ∈E ; il s’agit de montrer que x ∈F. La suite convergente (xn)n⩾0 est bornée : il existe R > 0 tel que {xn : n ⩾0} ⊂Bf (0,R). La partie Bf (0,R)∩F est une boule fermée de F, donc une partie compacte puisque dim(F) < ∞. Il existe donc une sous-suite (xϕ(n))n⩾0 qui converge dans F. Par unicité, cette limite doit être x, d’où l’on déduit que x ∈F. 1.6 Démonstration du théorème de Riesz Preuve. On suppose que E n’est pas de dimension finie. La stratégie est de construire une suite de vecteurs (en)n∈N sur la sphère-unité SE(0,1) de E tels que pour tous m ̸= n on ait ∥em −en∥⩾1/2. Cette suite ne peut admettre de valeur d’adhérence car, par construction, aucune de ses sous-suites n’est de Cauchy. On commence par se donner un vecteur arbitraire e0 ∈ SE(0,1). Ensuite, on suppose construite la suite désirée jus- qu’au rang n et on note Fn le sous-espace vectoriel engendré par les n + 1 premiers vecteurs e0,...,en : il est de dimension finie dans E, donc strictement inclus dans E, et fermé par le lemme précédent. En utilisant le lemme de Riesz pour ε = 1 2, on obtient un vecteur en+1 ∈SE(0,1) à distance ⩾1 2 de Fn, et donc aussi de tous les vecteurs ei pour 0 ⩽i ⩽n. La suite ainsi construite par récurrence contredit la compa- cité de la sphère unité fermée de E et donc la compacité de la boule unité fermée. 1 1.7 Conditions supplémentaires pour la compacité des boules fermées Le théorème de Riesz peut être vu comme un résultat négatif puisqu’il affirme que les boules fermées dans les espaces vec- toriels de dimension infinie ne sont pas des parties compactes. Il existe au moins deux façons de contourner cette difficulté. — La première consiste à munir les espaces vectoriels de topologies « appauvries », différentes de celles obtenues à partir d’une seule norme. C’est une approche largement exploitée en analyse fonctionnelle. — La seconde consiste à considérer des parties fermées et bornées qui satisfont des hypothèses additionnelles pour assurer la compacité. Le théorème d’Ascoli est un exemple fondamental et très utile de la seconde approche, dans le cas où l’espace vecto- riel normé est l’espace C (X;K) des fonctions continues d’un espace métrique compact X vers K, muni de la norme ∥·∥∞. 1.8 Équicontinuité de familles de fonctions Définition 1.1 Soit (X,d) un espace métrique. Soit F ⊂ C (X;K) une famille d’applications continues de X vers K. On dit que la famille F est équicontinue au point x ∈X si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que ∀f ∈F, ∀y ∈X, d(x,y) < δ = ⇒| f(x)−f(y)| < ε. On dit que la famille F est équicontinue sur X si elle est équicontinue en tout point de x ∈X. Exemple : soit (X,d) un espace métrique compact. Fixons k > 0 et considérons Fk = { f ∈C (X;K) : |f(x)−f(y)| ⩽kd(x,y)} l’ensemble des fonctions k-lipschitziennes définies sur X à va- leurs dans K. Cette famille est équicontinue sur X (il suffit de prendre δ = ε k dans la condition de la définition ci-dessus). 1.9 Un exemple de défaut d’équicontinuité En termes de définition « (ε,δ) » de la continuité des ap- plications, la condition d’équicontinuité en x est une condition d’uniformité de la constante δ par rapport à toutes les fonctions de la famille F considérée : étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour toute f ∈F on ait : f B(x,δ)  ⊂BK( f(x),ε). Non-exemple : dans l’espace C ([−1,1];R), considérons la famille F = {sn : x 7→sin(nx)}n⩾1. Alors F n’est pas équicontinue sur [−1,1]. Par exemple, elle n’est pas équicontinue au point 0 car pour tout δ > 0 on peut trouver un indice n tel que sn ] −δ;δ [  = [−1;1]. L’équicontinuité est donc contredite avec tout ε < 1. 1.10 Un exemple non-lipschitzien d’équicontinuité Exemple : on considère X = [0,1] muni de la distance usuelle et F =  f ∈C 1([0,1];R) : Z 1 0 |f ′(t)|2 dt ⩽1  . Soit f ∈F. Pour x,y ∈[0,1], on écrit f(x)−f(y) = Z x y f ′(t)dt; en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient |f(x)−f(y)| ⩽ Z x y |f ′(t)|2 dt 1 2 |x−y| 1 2 ⩽|x−y| 1 2 . En prenant δ = ε2, on voit que F est équicontinue sur [0,1]. 1.11 Théorème d’Ascoli Le théorème d’Ascoli fournit une condition suffisante de compacité dans l’espace de fonctions C (X;K) muni de la norme ∥·∥∞. Théorème 1.2 Soit (X,d) un espace métrique compact. Soit une famille de fonctions F ⊂C (X;K) qui vérifie les hypo- thèses suivantes. — La famille F est équicontinue sur X. — Pour tout x ∈X, l’ensemble { f(x) : f ∈F} est une partie bornée de K. Alors, de toute suite d’éléments de F on peut extraire une sous- suite qui converge dans (C (X;K),∥·∥∞). La démonstration est admise. 1.12 Exemple d’application du théorème d’Ascoli Soit ( fn)n⩾0 une suite dans C ([0,1];K). On fait les hypo- thèses suivantes. — Il existe une constante C > 0 telle que pour tout n ⩾0 sup x∈[0,1] |fn(x)| ⩽C. — Il existe une constante k > 0 telle que pour tout n ⩾0 et pour tous x,y ∈[0,1], |fn(x)−fn(y)| ⩽k|x−y|. Alors, par le théorème d’Ascoli, on peut extraire de la suite ( fn)n⩾0 une sous-suite qui converge dans (C ([0,1];K),∥·∥∞), c’est-à-dire qui converge uniformément sur [0,1]. Autrement dit, il existe une fonction continue f sur [0,1] qui est limite uniforme d’une sous-suite de ( fn)n⩾0. 2. Densité et convergence uniforme 2.1 Rappel sur la notion de densité Définition 2.1 Soit (X,d) un espace métrique. On dit qu’une partie Y de X est dense dans (X,d) si Y = X. De manière équivalente, Y ⊂X est dense dans (X,d) si — pour tout x ∈X, et tout ε > 0, B(x,ε)∩Y ̸= ∅; uploads/s3/ resume-3.pdf

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