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Analyse mathématique L2 HIGH-TECH, ST/U-Auben Désiré Ouédraogo 2019-2020 ii Som

Analyse mathématique L2 HIGH-TECH, ST/U-Auben Désiré Ouédraogo 2019-2020 ii Sommaire Sommaire vi 1 Séries numériques réelles 3 2 Fonctions à deux variables 7 3 Suites et Séries de fonctions 13 4 Les séries de Fourier 19 5 Les Transformées de Laplace 23 6 Travaux Dirigés 27 iii iv Table des matières Sommaire vi 1 Séries numériques réelles 3 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Fonctions à deux variables 7 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.1 Extremums sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.2 Extremums sous contrainte : méthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.1 Domaines élémentaires, domaines simples de R2 . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.2 Intégrale d'une fonction continue sur un domaine élémentaire . . . . . . . 11 3 Suites et Séries de fonctions 13 3.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 Fonctions développables en séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Les séries de Fourier 19 4.1 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Forme complexe de la décomposition en série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4 Les séries de sinus et de cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.5 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.6 Spectre et harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.7 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 Les Transformées de Laplace 23 5.1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2.1 Théorème de la valeur initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2.2 Théorème de la valeur nale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.3 Region de convergence ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.4 Application : résolution d'équations diérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 v 6 Travaux Dirigés 27 Table des matières vi 1 2 Chapitre 1 Séries numériques réelles 1.1 Généralités Dé nition 1.1.1. On appelle série numérique et on note X Un la donnée de deux suites numé- riques (Un) et (Sn) telles que Sn = k=n X k=0 Uk, ∀n ∈N. Un est le terme général et (Sn) est la suite des sommes partielles de la série. Proposition 1.1.2. U0 = S0, et Un = Sn −Sn−1, ∀n ∈N∗ . Remarque 1.1.3. Si U1 est le premier terme de la suite, alors Sn = k=n X k=1 Uk, ∀n ∈N∗; U1 = S1, et Un = Sn −Sn−1, ∀n ≥2 . Exercice 1.1.4. Déterminer le terme général de la série X Un sachant que la suite de ses sommes (Sn) partielles est dé nie par : 1. Sn = n + 1 2 . 2. Sn = 1 n. 3. Sn = 2n n + 1. Dé nition 1.1.5. Si (Sn) converge alors on dit que la série X Un converge et on appelle somme de X Un, la limite de (Sn). Sinon alors on dit que la série X Un diverge. Remarque 1.1.6. Si lim Sn = S ∈R, alors on dit que S est la somme de la série X Un et on note n=+∞ X n=0 Un = S. Exercice 1.1.7. Déterminer la nature de la série X Un sachant que la suite de ses sommes (Sn) partielles est dé nie par : 3 CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES RÉELLES 1. Sn = n + 1 2 . 2. Sn = 1 n. 3. Sn = 2n n + 1. Proposition 1.1.8. On ne change pas la nature d'une série lorsqu'on modi e un nombre ni de ses termes. Proposition 1.1.9. Si X Un converge alors lim n→+∞Un = 0. Remarque 1.1.10. la proposition donne seulement une condition nécessaire mais non su sante, i.e une série peut diverger bien que son terme général Un tende vers zéro. Mais si Un ne tend pas vers zéro, alors on peut conclure que la série X Un ne converge pas. Exemple 1.1.11. La série harmonique X 1 n. Proposition 1.1.12. La série harmonique X 1 n diverge. Exemple 1.1.13. Les séries géométriques X an, a ∈R. Proposition 1.1.14. La série géométrique X an converge si et seulement si |a| < uploads/s3/ analysemath2-2.pdf