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C2.1 - ACTIVITÉ À PRISE D’INITIATIVE "LES CARRÉS BORDÉS" Objectifs de la séance

C2.1 - ACTIVITÉ À PRISE D’INITIATIVE "LES CARRÉS BORDÉS" Objectifs de la séance : — Retour sur la tâche de production d’une expression littéral à partir d’un énoncé (abordé en 5ème sur des cas très simples) — Travail en groupe (1ère fois de l’année, une clariﬁcation sur le comportement attendu est donc de mise) I) Questions ﬂash 1. Voici un programme de calcul : x . . . . . . ×3 −1 ×4 Parmi ces expressions, laquelle est à inscrire dans la case rouge? □x × 3 −1 × 4 □4 × 3x −1 □4(3x −1) 2. Trace écrite Programme A : Appelons x le nombre de départ. Le programme de calcul correspond peut s’écrire ainsi : x 7x 7x + (−5) ×7 +(−5) On remonte alors le programme de calcul en partant de 9 ainsi : a) On part de 9 b) On ajoute 5 c) On divise par 7 9 14 2 +5 ÷7 II) Énoncé ! Le travail se fait par groupe 3 ou 4, tout le monde rédige les réponses. Je relève une copie/un cahier par ilôt au hasard. René joue avec des carreaux de mosaïque. Il dispose ses carreaux gris autour de différents carrés formés de carreaux blancs. En voici quatre. 1. Combien y a-t-il de carreaux gris entourant le carré blanc de taille 1? Celui de taille 2? Celui de taille 3? 3 Trace écrite On compte 8 carreaux gris autour du carré blanc de taille 1, 12 autour de celui de taille 2, 16 autour de celui de taille 3. 2. Produire un calcul qui donne le nombre de carreaux gris entourant un carré blanc de taille 7, puis de taille 56. Trace écrite Plusieurs méthodes peuvent-être proposées par les élèves principa- lement : 2(n + 2) + 2n, 4n + 4, 4(n + 1), 4(n + 2) −4, moins pro- bablement (n + 1)2 −n2. Pour la trace écrite, on distribue la série de quadrillages suivants et les élèves colorient les regroupements correspondant aux différentes formules. 3. Expliquer par un programme de calcul comment on peut calculer le nombre de carreaux entourant un carré de n’importe quelle taille. Trace écrite Un exemple de programme de calcul pour le cas 4n + 4. On en pré- sentera plusieurs. n 4n 4n + 4 ×4 +4 Trace écrite Bilan d’étape : Deux programmes de calcul sont équivalents s’ils donnent le même résultat, quelque soit le nombre de départ. On peut le démontrer en montrant que leurs expressions littérales correspon- dantes sont identiques. Pour montrer qu’ils ne sont pas équivalents, il sufﬁt de donner un contre-exemple. 4. Peut-on obtenir des bordures de 100, 150, 200, 250 carreaux? Trace écrite On procède par tatonnement. La démonstration ofﬁcielle est faite via le tableur. III) Différenciation 5. Étant donné un nombre de carreaux gris, peut-on savoir s’il correspond au nombre exact de carreaux d’une bordure? Trace écrite Pour un nombre de carreaux de bordure N, il faut vériﬁer s’il existe un nombre entier n tel que N = 4n + 4. Cela consiste à résoudre l’équation. On ne corrige pas cette question, a priori un peu trop technique. 4 Pour les plus rapides, on peut reprendre la question 3 sur les ﬁgures suivantes : Trace écrite On trouve 6(n + 1) + 3 pour le premier motif et 12n + 8 pour le deuxième. On ne la corrige pas non plus a priori. IV) Fin de séance Relever les copies (ou photos des cahiers?) et donner les devoirs : ex 6 p 42 5 "Les carrés bordés" : Activité à prise d’initiative ! Le travail se fait par groupe 3 ou 4, tout le monde rédige les réponses. Une copie sera relevée au hasard dans chaque groupe. René joue avec des carreaux de mosaïque. Il dispose ses carreaux gris autour de différents carrés formés de carreaux blancs. En voici quatre. 1. Combien y a-t-il de carreaux gris entourant le carré blanc de taille 1? Celui de taille 2? Celui de taille 3? 2. Produire un calcul qui donne le nombre de carreaux gris entourant un carré blanc de taille 7, puis de taille 56. 3. Expliquer par un programme de calcul comment on peut calculer le nombre de carreaux entourant un carré de n’importe quelle taille. 4. Peut-on obtenir des bordures de 100, 150, 200, 250 carreaux? 5. Étant donné un nombre de carreaux gris , peut-on savoir s’il correspond au nombre exact de carreaux d’une bordure? Pour aller plus loin Reprendre la question 3 pour les constructions suivantes : C2.2 Objectifs de la séance : — Institutionnaliser les notions de variables et de constantes — Institutionnaliser les règles de non-écriture du signe × I) Questions ﬂash Question La proportion coloriée vaut : □ 2 8 □ 3 6 □ 3 8 □ 2 6 Trace écrite Le numérateur correspond au nombre de portions coloriées et le déno- minateur au nombre total de portion soit 2 6 Question Que peut-on dire de 2 7 et 8 7 □les deux fractions sont in- férieures à 1 □ 2 7 < 8 7 □Leur somme vaut 11 7 Trace écrite Une fraction est inférieure à 1 lorsque le numérateur est plus petit que le dénominateur. Si deux fractions ont le même dénominateur, on compare les numéra- teurs pour connaître la plus grande et on ajoute les numérateurs pour calculer la somme. II) Déﬁnition Trace écrite I] Notion d’expression littérale et variable Déﬁnition 1 Dans une expression mathématique, on remplace parfois les nombres par des lettres. On parle alors d’expression littérale. Exemple : le périmètre P d’un cercle de rayon r s’écrit : P = 2 × π × r. ! Il faut toujours déﬁnir les lettres introduites. Déﬁnition 2 Dans une expression littérale, les lettres qui remplace des nombres sont des variables et les nombres des constantes. Exemple : Dans la formule du périmètre d’un cercle, le périmètre P se calcule à l’aide de la variable r et des constantes 2 et π. Une démonstration sous le tableur est pertinente. On fait un tableau tout simple 7 avec prix HT, TVA à 20% et prix TTC, pour bien voir que c’est la cellule qui est référencée (la variable) et non pas son contenu (sa valeur). Lorsque qu’on change le contenu le résultat change. III) Simpliﬁcation d’écriture Trace écrite II] Simpliﬁcation d’écriture Convention Dans une expression littérale, on peut ne pas écrire le signe × lorsqu’il est placé entre : — 2 variables — un chiffre et une variable — un chiffre et une parenthèse — deux parenthèses On note aussi x2 le produit de x×x et x3 le produit de x×x×x. Exemples : • a × b = ab • 10 × b = b × 10 = 10b • 3 × (a + 5) = 3(a + 5) • (2 −a) × (b + 5) = (2 −a)(b + 5) • 2 × π × r = 2πr ! On note toujours 10b et jamais b10. Simpliﬁcation Simpliﬁer quand cela est possible les expressions sui- vantes : IV) Fin de séance Devoirs : exo 1 et/ou 2 et 4 feuille 2 8 C2.3 Objectifs de la séance : — Activité sur l’équivalence entre 2 programmes de calculs — Notion d’identité qui en découle (on note sous la forme d’un bilan d’étape) — Démonstration sur Scratch (par l’enseignant guidé par les élèves) I) Questions ﬂash • 7 6 + 6 6 = • 3 5 + 4 10 = • 7 3 −2 6 = • 9 2 −8 6 = II) Correction des devoirs Exo 1 et 2 de la feuille 1. Pour l’exo 2 on corrigera avec un diagramme ﬂéché qui reprend les étapes (sur le format de la question ﬂash précédente). III) Activité On propose les 3 programmes de calcul suivants : Programme 1 — Choisir un nombre — Multiplier par 2 — Ajouter 1 — Multiplier le résultat par 6 — Retrancher 27 au résultat obtenu. Programme 2 — Choisir un nombre — Le multiplier par 4 — Soustraire 7 au ré- sultat obtenu — Multiplier le résultat obtenu par 3 Programme 3 — Choisir un nombre — Le multiplier par 12 — Lui soustraire 21 A) Sur papier Trace écrite Correction : Appelons le nombre de départ x. On fait des diagrammes ﬂéchés. Bilan d’étape : Deux programmes de calcul sont équivalents s’ils donnent le même résultat, quelque soit le nombre de départ. On peut le démontrer en montrant que leurs expressions littérales correspondantes sont identiques. Pour montrer qu’ils ne sont pas équivalents, il sufﬁt de donner un contre- exemple. B) Sur Scratch Je fais une démonstration assisté par les élèves sur Scratch. On ouvrira le petit programme de base préparer à l’avance pour gagner un peu de temps. Trace écrite Ils reproduisent sur leur cahier une solution (le programme 2 ou 3 pour gagner un peu de temps) IV) Fin de séance Devoirs : exo1 et 4 feuille 2 9 uploads/s3/ sequence2-calcul-litteral.pdf