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Nombre d'or 1 Nombre d'or La proportion définie par a et b est dite d'extrême e

Nombre d'or 1 Nombre d'or La proportion définie par a et b est dite d'extrême et de moyenne raison lorsque a est à b ce que a + b est à a, soit : lorsque (a+b)/a = a/b. Le rapport a / b est alors égal au nombre d'or. Le nombre d'or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l'unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est-à-dire lorsque (a+b)/a = a/b. Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en extrême et moyenne raison. Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi). Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x2 = x + 1. Il vaut exactement : soit approximativement 1.618 033 989. Il intervient dans la construction du pentagone régulier et du rectangle d'or. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et permettent de définir une « arithmétique du nombre d'or », cadre de nombreuses démonstrations. L'histoire de cette proportion commence à une période reculée de l'antiquité grecque. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme divine proportion en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique, principalement au cours des XIXe et XXe siècles où naissent les termes de section dorée et de nombre d'or. Le nombre d'or se trouve parfois dans la nature ou des œuvres humaines, comme dans les capitules du tournesol ou dans certains monuments à l'exemple de ceux conçus par Le Corbusier. Il est aussi étudié comme une clé explicative du monde, particulièrement pour la beauté. Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordre scientifique ou mystique : omniprésence dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique. Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie plus ou moins vaste de cette vision, soutenue par des livres populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes. Nombre d'or 2 Géométrie Figure 1Les triangles OAB et OCA sont semblables si et seulement si les longueurs a et b respectent la proportion d'or. Proportion Le nombre d'or possède une première définition d'origine géométrique, fondée sur la notion de proportion : Définition de la proportion d'or — Deux longueurs strictement positives a et b respectent la proportion d'or si et seulement si, le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a : Il existe une interprétation graphique de cette définition, conséquence des propriétés des triangles semblables illustrée par la figure 1. Les segments bleus sont de longueur a et le rouge de longueur b. Dire que la proportion définie par a et b est d'or revient à dire que les triangles OAB et OCA sont semblables. Euclide exprime la proportion d'or, qu'il appelle extrême et moyenne raison, de la manière suivante : Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit. Si a et b sont en proportion d'extrême et de moyenne raison, alors le rapport a / b est constant, ce qui donne une nouvelle définition du nombre d'or : Définition du nombre d'or — Le nombre d'or est le nombre réel positif, noté φ, égal à la fraction a / b si a et b sont deux nombres en proportion d'extrême et de moyenne raison. Il est donné par la formule : La proportion (1), définissant la proportion d'or, peut être écrite de la manière suivante, obtenue en multipliant l'égalité par : Ce qui revient à dire que φ est solution d'une équation du second degré. Cette propriété donne lieu à une troisième définition : Définition alternative du nombre d'or — Le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation du second degré suivante : Cette équation est équivalente à celle indiquant que l'inverse de l'inconnue x est égal à x - 1, ce qui implique que le développement décimal de 1/x est le même que celui de x, auquel on a retranché sa partie entière. Il existe deux modes de définition du nombre d'or, celle géométrique qui s'exprime en termes de proportion et celle algébrique qui définit le nombre comme l'unique racine positive d'une équation. Cette double approche permet de résoudre un problème d'algèbre, en l'occurrence une équation du second degré, à l'aide de méthode géométrique, on Nombre d'or 3 parle d'algèbre géométrique. Démonstrations • Construction de la proportion d'extrême et de moyenne raison : L’objectif est de construire la figure 1. Dans un premier temps, on considère deux points O et A du plan euclidien situés à une distance a l'un de l'autre. Soit I un point tel que les droites AI et OA soient perpendiculaires et tel que la distance AI soit égale à a/2. Soit γ le cercle de centre I et passant par A. Enfin les deux points B et C sont les intersections de la droite OI et du cercle γ dans l'ordre indiqué sur la figure. On définit b comme la distance séparant O de B. Par construction sa distance séparant B de C est égale à a. Une fois la figure construite, il reste à montrer que les triangles OAB et OCA sont semblables. Pour cela, il suffit de montrer qu'ils possèdent deux angles en commun. L'angle AOB est partagé par les deux triangles, il suffit donc de montrer que l'angle BAO est égal à OCA. Comme la droite OA est tangente au cercle, ce résultat est une conséquence du théorème de l'angle inscrit. Les triangles sont bien semblables. Deux triangles semblables sont proportionnels, ce qui montre que la base du grand triangle OC est à OA la base du petit triangle, ce que OA un côté du grand triangle est à OB le côté équivalent du petit triangle. On obtient la formule (1). • Unicité de la valeur b : Soit a une longueur strictement positive, et c un nombre réel plus petit que a tel que la proportion a/c soit d'extrême et de moyenne raison. Soit OBC trois points alignés tel que la distance OB soit égale à c et BC à a. Soit γ le cercle de diamètre BC et A le point de γ tel que la droite OA soit tangente au cercle. Les arguments de la démonstration précédente montrent que les triangles OAB et OCA sont semblables et que la figure obtenue est celle du paragraphe précédent. En conclusion la valeur c est égale à b, calculé au paragraphe précédent. Ceci montre l'unicité de b. • Détermination géométrique de φ : Pour calculer la valeur de φ, on peut utiliser le fait que si a et b sont en extrême et moyenne proportion, alors (a + b) / a est égal à φ. La longueur a peut être choisie quelconque, une méthode simple consiste à la choisir égale à 1. La valeur φ est alors égale à a + b ou encore à 1 + b. La longueur de OC est égale à la somme de la longueur de OB et de celle de EB, et donc à b + 1, le nombre d'or. Ici le nombre 1 représente le diamètre du cercle C de rayon 1/2, par construction. La longueur de OC est égale à φ et aussi à la somme de la longueur de OI et de IC. Le théorème de Pythagore montre que la distance entre O et I est égale à √5⁄2, la longueur de la diagonale d'un rectangle de côté de longueurs 1 et 1/2. Celle de I à C est égale au rayon du cercle 1/2. La longueur OC est à la fois égale au nombre d'or φ et à (1+√5)/2, ce qui montre le résultat recherchée. • Détermination algébrique de φ : Nombre d'or 4 Une autre solution pour le calcul de φ consiste à faire usage de la troisième définition. La valeur φ est donnée par la solution positive de l'équation du second degré : Équation dont on montre facilement qu'elle est équivalente à Le discriminant de l'équation du second degré est égal à 1 + 4 = 5, il existe deux solutions, une seule est positive, on en déduit : Un calcul ne faisant pas appel au discriminant est proposé en introduction dans l'article équation du second degré. Rectangle et spirale d'or Les calculs précédents permettent, à l'aide d'une règle et d'un compas de dessiner une proportion d'extrême et de moyenne raison. La méthode est illustrée uploads/s3/ nombre-d-x27-or-pdf.pdf