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1 Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences et Techniques - Tanger set

1 Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences et Techniques - Tanger settati_adel@yahoo.fr Année universitaire 2012-2013 (portail E.E.A et G.ID ) Calcul des Prbabilités Cours et Exercices Pour Génie Industriel & Génie Electrique- Electronique Par Settati Adel 2 Ce document est un support de cours pour les enseignements des probabilités et de la statistique. Il couvre l’analyse combinatoire, le calcul des probabilités et les lois de probabilités d’usage courant. Pour élaborer ce support, je me suis appuyé sur diﬀérentes références, des ou- vrages reconnus dans la discipline, mais aussi des ressources en ligne qui sont de plus en plus présents aujourd’hui dans la diﬀusion de la connaissance. Veuillez m’execuser au cas où il y a des erreures de frappes. Toutes suggestions ou commentaires qui peuvent l’améliorer sont le bienvenu. Table des matières Introduction 5 1 Calcul des probabilités 7 1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Permutations sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Permutations avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Arrangements sans répétition (Tirage successif sans remise) 8 1.2.2 Arrangements avec répétitions (Tirage successif avec remise) 9 1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Combinaisons sans répétitions (Tirage simultané) . . . . . . 9 1.3.2 Combinaisons avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Espace fondamental et événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Probabilité sur un ensemble ﬁni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Probabilités conditionnelles - Indépendance . . . . . . . . . . . . . 15 1.8.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8.2 Partitions - Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles 19 2.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 4 TABLE DES MATIÈRES 2.2 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.4 Opérations sur les variables aléatoires . . . . . . . . . . . . 23 2.3.5 Inégalité de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1 Loi Uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . . . . . . . 27 2.5.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson 28 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Variables aléatoires continues - Lois continues usuelles 31 3.1 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.2 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.3 Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.1 La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.4 Cas particulier : La loi normale centrée réduite . . . . . . . 34 3.2.5 Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 TABLE DES MATIÈRES 5 3.4.1 Fonction densité conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6 TABLE DES MATIÈRES Chapitre 1 Calcul des probabilités 1.1 Permutations 1.1.1 Permutations sans répétition Déﬁnition 1.1.1. Soit E un ensemble à n éléments. Une permutation de E est un echantillon uploads/s3/ statistique-probabilite-pdf.pdf