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1 Une introduction aux statistiques inférentielles Christophe Lalanne Sommaire

1 Une introduction aux statistiques inférentielles Christophe Lalanne Sommaire 1 Quelques rappels utiles de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Les axiomes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Indépendance, probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Espérance mathématique et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Fonctions génératrices et fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Lois de probabilités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Méthode d’estimation de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 Maximisation de la vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Autres méthodes d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Estimateurs de variance minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Exemple d’application : construction de diﬀérentes statistiques de test . . . 25 3 La méthode Expectation-Maximization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1 Construction de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Exemples d’application de l’algorithme EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4 Tests statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5 Chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1 Matrice des probabilités de transition et graphe des transitions d’état . . . . 38 5.2 Évolution temporelle des distributions de probabilités d’états . . . . . . . . . . . 39 5.3 Classiﬁcation des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4 Ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.5 Distribution stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.6 Chaînes de Markov réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.7 Chaînes de Markov à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6 Méthodes de Monte Carlo par Chaînes de Markov (MCMC) . . . . . . . . . . . . . . 45 6.1 Règle d’acceptation-rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2 Applications de l’algorithme de Metropolis-Hastings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.3 Recuit simulé et MC3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7 Chaînes de Markov cachées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7.1 Probabilité d’occurence d’une séquence de symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7.2 Algorithme « backward » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.3 Algorithme « forward » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.4 Algorithme de Viterbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.5 Algorithme de Baum–Welch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2 1 Quelques rappels utiles de probabilités Quelques-uns des concepts fondamentaux en statistique théorique nécessitent pour le lec- teur de s’être bien approprié certains éléments de la Théorie des probabilités. Dans cette perspective, on se contentera de rappeler les axiomes du calcul uploads/s3/ stats.pdf