TES1 : DEVOIR SURVEILLÉ N°1 (2 heures) Exercice 1 (4 points) Soit g la fonction

TES1 : DEVOIR SURVEILLÉ N°1 (2 heures) Exercice 1 (4 points) Soit g la fonction définie sur par : g(x) = (1 + x) 3 + x 1. Calculer la dérivée g' de g et préciser son signe. En déduire le sens de variation de g sur . 2. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle [−1 ; 0]. 3. Donner un encadrement de α d'amplitude 10−1. Exercice 2 (12 points) Soit ƒ la fonction définie sur \ {3} par : ƒ(x) = −2x + 1 − 8 3 x − On note Cƒ sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O,   i j , ). 1. Étudier les limites de ƒ en −∞ et en +∞. La courbe Cƒ admet-elle une asymptote horizontale ? 2. Étudier les limites de ƒ en 3− et en 3+. La courbe Cƒ admet-elle une asymptote verticale ? 3. Démontrer que la droite ∆ d'équation y = −2x + 1 est une asymptote oblique à la courbe Cƒ en +∞ et en −∞. 4. Calculer la dérivée ƒ' de ƒ. Démontrer que : ƒ'(x) = −2 5 1 3 2 ( )( ) ( ) x x x − − − . 5. En déduire le tableau de variation de ƒ. 6. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cƒ au point d'abscisse x0 = 2. 7. Tracer soigneusement, sur une feuille séparée, ∆, T et Cƒ. Unités graphiques : • Axe des abscisses : gradué de −2 à 7 avec 1cm par unité. • Axe des ordonnées : gradué de −24 à 12 avec 1cm pour 4 unités. Exercice 3 (4 points) On dispose d'une courbe Cƒ représentant une fonction ƒ et de deux de ses tangentes T1 et T−1. (Voir graphique ci-contre) On sait que la fonction ƒ est de la forme : ƒ(x) = a x2 + bx + c. (Cƒ est une parabole) 1. Par lecture graphique, donner la valeur de ƒ(0). En déduire la valeur de c. 2. Exprimer ƒ'(x) en fonction de a et b. 3. Par lecture graphique, donner la valeur des nombres ƒ'(1) et ƒ'(−1). En déduire la valeur de a et b. 4. Par lecture graphique, résoudre l'équation ƒ(x) = 0. Retrouver ce résultat par calcul. y Cƒ ƒ ƒ ƒ Cƒ ƒ ƒ ƒ T1 T− − − −1 x 1 i → O 1 j → TES1 : DEVOIR SURVEILLÉ N°1 : CORRIGÉ Exercice 1 (4 points) Soit g la fonction définie sur par : g(x) = (1 + x) 3 + x 1. La fonction g est de la forme : g = u n + v avec : u(x) = 1 + x ; n = 3 et v(x) = x. Donc g' = nu' u n−1 + v'. Ce qui donne : g'(x) = 3(1 + x) 2 + 1. Inutile de développer, on a immédiatement : g'(x) > 0 pour tout x ∈ . (Un carré auquel on ajoute 1 donne une quantité strictement positive) La fonction g est donc strictement croissante sur . 2. C'est une question classique. Vérifions les trois conditions du théorème de bijection : . La fonction g est dérivable sur donc a fortiori g est dérivable sur [−1 ; 0]. . La fonction g est strictement croissante sur donc a fortiori g est strictement croissante sur [−1 ; 0]. . On a : g(−1) = −1 < 0 et g(0) = 1 > 0. Le réel λ = 0 est donc bien compris entre g(−1) et g(0). D'après le théorème de bijection, on en déduit que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle [−1 ; 0] : 3. Encadrement de α d'amplitude 10−1 à l'aide d'un petit tableau de valeurs : On en déduit : −0,4 < α < −0,3 Exercice 2 (12 points) Soit ƒ la fonction définie sur \ {3} par : ƒ(x) = −2x + 1 − 8 3 x − 1. Limite de ƒ en −∞. On a : lim x→−∞(−2x + 1) = +∞ lim x→−∞− 8 3 x − = 0 puisque lim x→−∞(x − 3) = −∞. Donc, par somme, lim x→−∞ƒ(x) = +∞. Limite de ƒ en +∞. On a : lim x→+∞(−2x + 1) = −∞ lim x→+∞− 8 3 x − = 0 puisque lim x→+∞(x − 3) = +∞. Donc, par somme, lim x→+∞ƒ(x) = −∞. Comme les limites de ƒ en +∞ et en −∞ ne sont pas finies, la courbe Cƒ n'admet donc pas d'asymptote horizontale en +∞, ni en −∞. x −∞ −1 α 0 +∞ signe de la dérivée g' + + + + variations de g 0 1             −1 x −0,9 −0,8 −0,7 −0,6 −0,5 −0,4 −0,3 −0,2 −0,1 g(x) −0,899 −0,792 −0,673 −0,536 −0,375 −0,184 0,043 0,312 0,629 Les valeurs de g(x) sont arrondies à 10−3 . 2. Limite de ƒ en 3−. On a : lim x→ − 3 (−2x + 1) = −5 lim x→ − 3 − 8 3 x − = +∞ puisque lim x→ − 3 (x − 3) = 0−. Donc, par somme, lim x→ − 3 ƒ(x) = +∞. Limite de ƒ en 3+. On a : lim x→ + 3 (−2x + 1) = −5 lim x→ + 3 − 8 3 x − = −∞ puisque lim x→ + 3 (x − 3) = 0+. Donc, par somme, lim x→ + 3 ƒ(x) = −∞. Comme les limites de ƒ en 3+ et 3− sont infinies, on en déduit que la courbe Cƒ admet une asymptote verticale D d'équation x = 3. 3. Étudions la différence ƒ(x) − (−2x + 1). ("Écart vertical" entre la courbe Cƒ et la droite ∆ en l'abscisse x). ƒ(x) − (−2x + 1) = −2x + 1 − 8 3 x − − (−2x + 1) = − 8 3 x − Cet "écart vertical" tend vers 0 quand x tend vers +∞ : lim x→+∞[ƒ(x) − (−2x + 1)] = lim x→+∞− 8 3 x − = 0 La courbe Cƒ admet donc une asymptote oblique ∆ d'équation y = −2x + 1 en +∞. On a le même résultat en −∞ : lim x→−∞[ƒ(x) − (−2x + 1)] = lim x→−∞− 8 3 x − = 0 La courbe Cƒ admet donc également une asymptote oblique ∆ d'équation y = −2x + 1 en −∞. 4. Calcul de la dérivée ƒ' de la fonction ƒ : La fonction ƒ est de la forme : ƒ = u − 8 × 1 v où u et v sont les fonctions définies par u x x v x x ( ) ( ) = − + = −   2 1 3 . Donc ƒ'= u' − 8 × −    v v ' 2 = u' + 8 × v v ' 2 , ce qui donne : ƒ'(x) = −2 + ( ) 8 3 2 x − . En réduisant au même dénominateur : ƒ'(x) = ( ) ( ) 8 2 3 3 2 2 − − − x x = ( ) 8 2 6 9 3 2 2 − − + − ( ) x x x = ( ) − + − − 2 12 10 3 2 2 x x x Par ailleurs, on a : −2(x − 5)(x − 1) = (10 − 2x)(x − 1) = −2 x2 + 12x − 10. Donc : ƒ'(x) = −2 5 1 3 2 ( )( ) ( ) x x x − − − 5. On en déduit le tableau de variation de ƒ : La fonction ƒ admet un maximum relatif en 5 : ƒ(5) = −13. x –∞ 1 3 5 +∞ signe de − 2 − − − − signe de (x − 5) − − − 0 + signe de (x − 1) − 0 + + + signe de (x − 3)2 + + 0 + + signe de la dérivée ƒ' − 0 + + 0 − +∞ +∞ −13 variations de ƒ 3 −∞ −∞ Remarque : on peut aussi réduire ƒ(x) au même dénominateur puis utiliser la formule de la dérivée d'un quotient... Justification des signes : x − 5  0 ⇔ x  5 x − 1  0 ⇔ x  1 Un carré est positif ou nul Ne pas oublier de compléter le tableau de variation avec les valeurs des limites et des éventuels extremums La fonction ƒ admet un minimum relatif en 1 : ƒ(1) = 3. 6. L'équation de la tangente T au point d'abscisse 2 est donnée par la formule : T2 : y = ƒ(2) + ƒ'(2)(x − 2) Or, ƒ(2) = 5 et ƒ'(2) = 6. D'où : T2 : y = 6x − 7 7. Veuillez refaire uploads/s3/ dstes.pdf

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Administrationexercice points) fonction droite probabilité
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