Epreuve de maths 7C 26/12/2018 4 heures Proposée par l’association des amis de

Epreuve de maths 7C 26/12/2018 4 heures Proposée par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES Bac Blanc Niveau : 7C Durée Exercice 1 (4 points) On considère la matrice 1 1 1 1 0 1 2 1 A 0 0 1 3 0 0 0 1       =       1. a) Calculer N . b) Calculer 2 3 N ,N . c) Vérifier que 4 N O = où Oest la matrice carrée nulle d’ordre 2. En remarquant que 4 A N I = + a) Montrer que pour tout entier naturel b) En déduire en fonction den l’expression de Exercice 2 (5 points) On considère dans    l’équation 1.a) Justifier que( ) E admet des solutions dans b) Vérifier que le couple ( ) 7,12 c) Résoudre    dans    puis 2.a) Soit n ∈ℤ . Montrer que : b) Quel est le ( ) PGCD n,209 ? c) Une marchandise est mise dans des cartons à pièces et si elle est mise dans des cartons à Déterminer le nombre de pièces Exercice 3 (5 points) On considère un triangle ABCdirect. On ci trois carrés, qui s’appuient respectivement sur les côtés [ ] AC , de centres respectifs P,Q,R On note respectivement a,b,c,p,q,r A,B,C,P,Q,R dans un repère orthonormé direct 1°a) Démontrer que dans le carré construit sur b) Etablir des relations analogues pour c) Montrer que les triangles ABC 2° a) Montrer que les droites (AQ /2018 4 heures Proposée par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page ﺟﻣﻌﯾﺔ أﺻدﻗﺎء اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES Epreuve de Maths Durée :4h Proposée le 26 décembre 1 1 1 1 0 1 2 1 0 0 1 3 0 0 0 1             et 4 1 0 0 0 0 1 0 0 I 0 0 1 0 0 0 0 1       =       . On poseN A I est la matrice carrée nulle d’ordre 4 . (On dit que 4 A N I = + , 0 4 N I = et queN et 4 I commutent. pour tout entier natureln ; 3 n k k n k 0 A C N = = ∑ . l’expression de n A . équation ( ) E :19x 11y 1 − = . admet des solutions dans × ℤ ℤ. 7,12 est une solution de( ) E . puis dans   . [ ] [ ] n 4 19 n 5 11  ≡   ≡   si et seulement si n 137 209 ≡ ne marchandise est mise dans des cartons à 19 pièces le dernier carton ne contient que pièces et si elle est mise dans des cartons à 11 pièces le dernier carton ne contient qu de cette marchandise sachant qu’il est entre direct. On construit à l’extérieur de celui- ci trois carrés, qui s’appuient respectivement sur les côtés[ ] AB , [ ] BC et P,Q,R . a,b,c,p,q,r les affixes des points : dans un repère orthonormé direct( ) O ; u , v   . 1°a) Démontrer que dans le carré construit sur [ ] AB on a : a ib p 1 i − = − . b) Etablir des relations analogues pour qet r en raisonnant dans les deux autres carrés. ABCet PQR ont le même centre de gravité. ) AQ et( ) PR sont perpendiculaires. /2018 4 heures Proposée par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 1/2 Epreuve de Maths 26 décembre 2018 de 8h à 12h 4 N A I = − . (On dit queN est nilpotente). [ ] n 137 209 pièces le dernier carton ne contient que 4 pièces le dernier carton ne contient que5 pièces. il est entre 1810 et 2220 . en raisonnant dans les deux autres carrés. Epreuve de maths 7C 26/12/2018 4 heures Proposée par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page b) Montrer que les droites( ) AQ c) Soit Hle point de concours de ces droites. Montrer que l’affixe ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r p h r p h r p a r p a q p h q p h q p b q p b  − + − = − + −   − + − = − + −   3° On considère le polynôme ( P z z 5z 7 2i z 7 6i a) Résoudre l’équation ( ) P z 0 = sachant qu’elle admet une solution imaginaire pure. b) Soient A,B,C les points d’affixes respectives affixes des pointsP,Q,R définis ci c) Déterminer alors l’affixe du point Exercice 4 (6 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé d’affixes respectives i −eti . Soit f l’application de { } P \ A dans que : iz 1 z' z i + = + . 1° Montrer que f est une bijection et donner l’expression de 2° On suppose M A ≠ et M B ≠ a) Montrer que ( ) ( u,OM' MA,MB 2 2 π = + π     b) Déterminer l’ensemble( ) Γ des points c) Déterminer l’ensemble( ) ∆des points 1 . 3° Soit dansℂ l’équation( ) E : (i z 1 z i a) Montrer que si z est une solution de b) Soit , 2 2 π π   α∈−     . Donner la forme exponentielle du nombre complexe En déduire les valeurs deα pour lesquelles c) Résoudre cette équation en utilisant l’identité remarquable d) Déduire la valeur exacte detan 4° Soit θ un réel de l’intervalle] 5° On désigne par 1 M et 2 M les points d’affixes respectives a) Montrer que 1 M et 2 M sont symétriques par rapport à un point fixe que l’on précisera. b) Trouver les ensembles décrits par c) Montrer que( ) ( 2 1 2 M M 8 1 sin = − θ 1 2 M M est maximale. /2018 4 heures Proposée par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page AQ ,( ) BR et ( ) PC sont concourantes . le point de concours de ces droites. Montrer que l’affixeh de H vérifie ( ) ( ) r p h r p h r p a r p a q p h q p h q p b q p b − + − = − + − − + − = − + − ) ( ) 3 2 P z z 5z 7 2i z 7 6i − + − − − = . P z 0 sachant qu’elle admet une solution imaginaire pure. les points d’affixes respectivesa i,b 1 2i,c 4 i = = − = + . Donner, dans ce cas, les définis ci-haut. c) Déterminer alors l’affixe du pointH . Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé( ) O ; u , v   , on donne les points dans { } P \ B qui à tout point ( ) M z associe le point est une bijection et donner l’expression de 1 f −. M B ( ) [ ] u,OM' MA,MB 2 = + π     et que MB OM MA ′ = des points ( ) M z tels que : z'soit un réel non nul. des points ( ) M z lorsqueM'parcourt le cercle ) ( ) 3 3 i z 1 z i + = + . est une solution de ( ) E alors z est réel. . Donner la forme exponentielle du nombre complexe 1 itan i tan pour lesquellestan α est une solution de( ) E . c) Résoudre cette équation en utilisant l’identité remarquable ( 3 3 2 2 a b a b a ab b − = − + + 5 tan 12 π . ] [ 0,2π . Résoudre dans ℂl’équation : 2 i 2i z 2 i z 2ie e 0 − + − = les points d’affixes respectives i 1 z e θ = et 2 z 2i e = − sont symétriques par rapport à un point fixe que l’on précisera. décrits par 1 M et 2 M lorsqueθvarie. ) M M 8 1 sin = − θ . Déterminer la valeur deθ pour laquelle la distance Fin. /2018 4 heures Proposée par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 2/2 vérifie : sachant qu’elle admet une solution imaginaire pure. . Donner, dans ce cas, les , on donne les points A et B associe le point ( ) M' z' tel soit un réel non nul. parcourt le cercle de centreOet rayon 1 itan i tan + α + α . )( ) 3 3 2 2 a b a b a ab b − = − uploads/s3/ devoiramimath7c12-2018-1.pdf

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