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P a g e | 87 TP3 CALCULS INTEGRALES MATHEMATIQUES 1. Déterminer le développemen

P a g e | 87 TP3 CALCULS INTEGRALES MATHEMATIQUES 1. Déterminer le développement limité d'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction f : 2 1 1 t t   Démontrer que le développement limité d'ordre 4 la fonction Arc tan est : 3 4 arctan ( ) 3 t t t t t    2. Déterminer le développement limité d'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction f : 2 1 1 t t    Démontrer que le développement limité d'ordre 4 la fonction Arc sin est : 3 4 arcsin ( ) 6 t t t t t    3 .Déterminer le développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction f : x x e  . Démontrer que le développement limité d'ordre 2 de la fonction g : 1 2 1 x x   est 2 2 3 1 ( ) 2 x x x x      En déduire que le développement limité d'ordre 2 de la fonction h : 2 1 x e x x    est 2 2 1 2 3 ( ) x x x x     4. Démontrer que le développement limité d'ordre 3 de la fonction f: ( 1)cos x x x   est : 2 3 3 ( ) 1 ( ) 2 2 x x f x x x x     5. Soit f la fonction définie sur       0, 1 2 par : 2 ( ) 1 x e f x x  . Démontrer que le développement limité à l'ordre 3 de la fonction f au voisinage de 0 est 2 3 3 1 ( ) 1 ( ) 3 f x x x x x x      avec 0 lim ( ) 0 x x    . 6. Soit f la fonction définie sur ] – 1, 1] par : ( ) 1 x e f x x   . Démontrer que le développement limité d'ordre 2 de la fonction f au voisinage de 0 est 2 2 1 7 ( ) 1 ( ) 2 8 f x x x x x     , avec 0 lim ( ) 0 x x    7. Déterminer le développement limité d'ordre 3 de la fonction f :   2 1 1 x x   . En déduire que le développement limité d'ordre 3 de la fonction f :   2 3 2 1 1 x x x x     est : 2 3 3 ( ) 1 2 2 ( ) f x x x x x x      8. Soit f la fonction définie sur  par ( ) ( 2)ln(1 ) f x x x    . La courbe C , de la figure est la courbe représentative de f. La droite T est la tangente à la courbe C au point A d'abscisse 0. 1°a) Déterminer le développement limité à l'ordre 3 de ln(1 ) x x   . b)En déduire que le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction f est : 3 3 ( ) 2 ( ) 6 x f x x x x     2° Déterminer une équation de la tangente T à lu courbe C au point d'abscisse 0 et la position relative de C et T au voisinage de 0. 9. Soit f la fonction définie sur  par 2 2 ( ) ( 1) x f x x e   et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; ; ) O i j      : 1. Déterminer un développement limité à l'ordre 2 de f au voisinage de 0 2. En déduire : (a) une l’équation de la tangente T à la courbe C: (b) la position de C par rapport à T au voisinage de 0. P a g e | 88 Exercice 10 Soit f la fonction définie sur 1;       par 1 ( ) ln(1 ) 2(1 ) f x x x     et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; ; ) O i j      : 1. Déterminer un développement limité à l'ordre 3 de f au voisinage de 0 2. En déduire : a) une équation de la tangente T à la courbe C: b) la position de C par rapport à T au voisinage de 0. Exercice 11 Soit f la fonction définie sur  par ( ) ( 2) x f x x e   et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; ; ) O i j      . 1. Déterminer un développement limité à l'ordre 3 de f au voisinage de 0 2. En déduire : a) une équation de la tangente T à la courbe C: b) la position de C par rapport à T au voisinage de 0. Exercice 12 Soit f la fonction définie sur  par 1/ ( ) (1 ) x f x x e   et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; ; ) O i j     . 1. Déterminer un développement limité à l'ordre 3 de f au voisinage de 0 de ( ) (1 ) t g t t e   2. En déduire, en posant 1/ t x  que l'on peut écrire ( ) f x sous la forme 1 1 ( ) c f x ax b x x x           où a; b et c sont des réels que l'on déterminera. 3. En déduire : a) une équation de l'asymptote  à C vers  b) la position de C par rapport à  au voisinage de : Exercice 13 Soit f la fonction définie sur 1;       par 2 ln(1 ) ( ) (1 ) x f x x    et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; ; ) O i j     . 1. Déterminer un développement limité à l'ordre 2 de f au voisinage de 0 de 2. En déduire : (a) une équation de la tangente T à la courbe C: (b) la position de C par rapport à T au voisinage de 0 Exercice 14 Soit f la fonction définie sur 1;       par ( ) 1 ln(1 ) f x x x    et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; ; ) O i j      . 1 Déterminer un développement limité à l'ordre 3 de f au voisinage de 0 2. En déduire : a) une équation de la tangente T à la courbe C: b) la position de C par rapport à T au voisinage de 0 Exercice 15 Soit f la fonction définie sur 1;       par 2 1 ( ) ln x f x x x         et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; ; ) O i j      . 1. 1. Déterminer un développement limité à l'ordre 3 de f au voisinage de 0 de ( ) ln(1 ) g t t   2. En déduire, en posant 1/ t x  que l'on peut écrire ( ) f x sous la forme 1 1 ( ) c f x ax b x x x           où a; b et c sont des réels que l'on déterminera. P a g e | 89 3. En déduire : a) une équation de l'asymptote  à C vers  b) la position de C par rapport à  au voisinage de  P a g e | 90 Corrigé P a g e | 91 P a g e | 92 uploads/s3/ sujet-corrige-calcul-integral 1 .pdf