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456 énigmes. . . de Âne à Zèbre Florilège d’énigmes proposées par-ci par-là Arn

456 énigmes. . . de Âne à Zèbre Florilège d’énigmes proposées par-ci par-là Arnaud Gazagnes IREM de Lyon – CII « Popmaths » « Théorème du papillon », « courbe de poursuite du chien », « escargot de Pythagore », « selle de singe », « courbe du dragon », . . . de nombreux résultats portent le nom d’un animal. De plus, j’ai remarqué que, lorsque des déﬁs étaient proposés à mes élèves (dans des rallyes, en club mathématique ou dans un travail de classe), ceux- ci avaient montré plus d’intérêt pour un déﬁoù non seulement il y avait un habillage mais aussi où cet habillage comportait des animaux. C’est pourquoi j’ai commencé à rechercher des énigmes où il était ques- tion d’animaux : dans des livres anciens, dans des rallyes, sur l’e-toile, . . . Cette brochure en propose un ﬂorilège, données depuis le cycle 3 jusqu’aux premières années du l’enseignement supérieur. Certains exercices ont été rhabillés. D’une part, parce qu’ils me plai- saient ( ! ) et que cela m’a permis de les insérer dans ce ﬂorilège. D’autre part, parce que, au départ, cela me permettait de mettre une entrée de nom d’animal à chacune des vingt-six lettres de l’alphabet (et justiﬁer le titre de ce document). Dans tous les cas, les sources des énigmes (originales ou non) sont systématiquement indiquées quand elles me sont connues. Il y a aussi quelques exercices de mon crû. Un index des noms d’animaux présents se trouve en ﬁn de document. De plus, certaines énigmes ont un allié formidable pour la résolution : les TICE. Les calculatrices, les logiciels de géométrie dynamique et les logiciels de calcul formel ont eu de belles heures dans mes classes pour venir à bout de tel ou tel déﬁ(voire d’aller plus loin que ce qui était demandé). Le premier déﬁparle d’abeilles (et non pas d’âne, comme le suggère le titre) et le dernier, de zoologie, et non pas de zèbre. Cela signiﬁe que la liste des énigmes ne se veut pas complète (de A à Z) et qu’il y en a encore à découvrir ! À part le fameux « âne rouge », à construire, les énigmes ne demandent que le matériel usuel de l’élève. Enﬁn je signale que chacune des 456 énigmes est corrigée. La mise en page (réalisée avec mon binôme L AT EX) est faite pour que la solution ne soit pas juste à côté de l’énoncé, pour ne pas gâcher le plaisir de chercher ! Je ne peux que rappeler le jeu comme pratique pédagogique. Je renvoie le lecteur aux nombreuses publications tant « papier » (celles de l’APMEP, notamment) qu’ « en ligne » (celles des IREM, notamment) qui donnent de belles et riches activités. Jouez bien ! A. Gazagnes Compilation du 28 juin 2018 1 Abeille (1) Neuf abeilles se sont posées sur un réseau quadrillé. Le hasard a voulu qu’elles se soient disposées de manière que deux abeilles ne se trouvent jamais sur une même rangée horizontale, ver- ticale ou diagonale. Au bout de quelques minutes, trois abeilles changent de place et passent dans des cases voisines libres, les six autres abeilles restant immobiles. Le plus curieux est que, bien que trois abeilles ayant changé de place, toutes les neuf se trouvent encore dans une position telle que deux quelconques d’entre elles ne soient jamais dans une même rangée. Quelles sont les trois abeilles qui ont bougé, et dans quelles cases se sont-elles déplacées ? Énigme Expériences et problèmes récréatifs, Y. Perelman, Éd. Mir 2 Abeille (2) Un apiculteur souhaite placer des ruches dans un domaine rectangu- laire de 3 km sur 4 km. Les abeilles qui peuplent ces ruches sont d’une espèce plutôt guer- rière, aussi deux ruches doivent-elles toujours être espacées d’au moins 2 400 m. Combien l’apiculteur pourra-t-il placer de ruches dans ce domaine, au maximum ? Énigme « Les ruches », Énigme publiée dans Tangente, no 50, Janvier- février 2013, d’après La Recherche L’apiculteur peut placer cinq ruches sans diﬃculté. Par exemple, une au centre et une à chaque sommet du domaine. La distance entre deux ruches quelconques est alors au moins égale à 2 500 mètres. Montrons qu’il ne peut pas placer six ruches. Le découpage du domaine représenté ci-dessous possède la propriété suivante : deux points d’une même partie sont au plus éloignés de √ 5 km. Or il n’y a que cinq parties, d’où l’impossibilité de placer six ruches. 3 Abeille (3) En pensant aux abeilles et à leur ruche, Mathias a tracé 48 petits triangles et a formé la ﬁgure ci-dessous. Il veut compter les hexagones réguliers, c’est-à-dire ceux dont les côtés ont même longueur. Combien y a-t-il d’hexagones réguliers de toute grandeur dans cette ﬁgure ? Énigme « Ruche de Mathias », http://recreomath.qc.ca/ On compte 16 hexagones ayant un segment par côté et 4 hexagones ayant deux segments par côté. Au total, il y a 20 hexagones réguliers de toute grandeur. 4 Abeille (4) Chaque lettre vaut un certain nombre de points et la valeur d’un mot est obtenue en faisant la somme des valeurs des lettres qui le forment. Le mot BALLE vaut 22 points. Le mot BILLE vaut 25 points. Le mot BILE vaut 22 points. Le mot ABEILLE vaut 34 points. Sauras-tu trouver la valeur du mot AILEE ? Énigme « Les mots cryptés », Déﬁdéposé sur le site de Jean-Louis Sigrist en 2006 Entre les mots BALLE et BILLE, une seule lettre diﬀère. On déduit que la valeur de la lettre I vaut 3 points de plus que la lettre A. La comparaison des mots BILLE et BILE permet de dire que la lettre L vaut 3 points. ABEILLE est un mot composé des lettres du mot BILLE et des lettres A et E. Donc la somme des valeurs des lettres A et E vaut 34 −25 soit 9 points. ABEILLE est un mot composé des lettres du mot BALLE et des lettres E et I. Donc la somme des valeurs des lettres E et I vaut 34 −22 soit 12 points. La valeur du mot AILEE est la somme des valeurs des lettres A, I, L, E et E, soit encore la somme des valeurs des lettres A et E, celle des lettres E et I et celle de la lettre L. Cette valeur est égale à 9 + 12 + 3 = 24 points. 5 Abeille (5) L’abeille Maya, représentée ci-dessous, et ses cinq soeurs, qui ont une forme identique, peuvent recouvrir entièrement la forme ci-contre, sans chevauchement. Dessinez le contour des six abeilles. Énigme b b « Maya et ses sœurs », 9ème Championnat International des Jeux Ma- thématiques et Logiques, 1/4 de ﬁnale individuels, Catégorie CM 6 Abeille (6) Sébastien est un apiculteur qui possède sur l’ensemble de ses terres quatre ruchers. À l’heure de la retraite, il veut oﬀrir à ses quatre petits-enfants une parcelle de sa propriété. Mais il souhaite que les quatre parcelles aient la même forme et la même aire, et aient toutes les quatre un rucher, pour que les quatre petits-enfants puissent continuer l’apiculture. Aide-le à faire son partage. Énigme b b b b « Abeille », Énigmes de Âne à Zèbre, A. Gazagnes, IREM de Lyon, 2017 b b b b 7 Abeille (7) Dans une ruche, six abeilles (notées A, B, C, D, E, F) sont placées côte à côte, chacune dans son alvéole (schéma 1). Elles déménagent dans les alvéoles du schéma 2. Chaque abeille n’aura que des nouvelles voisines (deux abeilles sont voisines si leurs alvéoles ont un côté en commun). Placer les lettres A à F dans le schéma 2 pour qu’il en soit ainsi. Énigme 1 2 3 4 5 6 Schéma 1 b b b b b b b b b b b b Schéma 2 « Déménagement chez les abeilles », Rallye mathématique de l’aca- démie de Lyon, 2015 Deux solutions : 5 1 4 3 6 2 b b b b b b b b b b b b 2 6 3 4 1 5 b b b b b b b b b b b b 8 Âne (1) Neuf ânes sont dans un enclos carré. Les neuf ânes sont malades. Il faut les séparer. Trace deux carrés pour que chaque âne soit isolé des deux autres. Énigme « Neuf ânes », Rallye mathématique de Loire-Atlantique, 1996 9 Âne (2) Un jeu de manipulation à construire! L’Âne rouge est un puzzle à pièces coulissantes proche du taquin. Le but du jeu est d’amener l’âne, représenté par le grand carré grisé, en bas du plateau par glissements successifs des éléments. Énigme Ce jeu serait d’origine thaïlandaise. À la suite du succès du taquin de Sam Loyd (le 15 Puzzle) en 1881, le puzzle Dad’s puzzler introduit les rectangles 1×2 (L. W. Hardy a enregistré aux États-Unis en 1909 et 1912 deux variantes enregistrées par copyright). Ensuite, J.H. Fle- ming a déposé un copyright en 1934 pour ce jeu qui est connu un peu partout à cette époque uploads/s3/ enigmes-de-ane-a-zebre-pdf.pdf