BCPST 1 2020-2021 Fiche 4 - Nombres complexes et trigonométrie Écritures algébr

BCPST 1 2020-2021 Fiche 4 - Nombres complexes et trigonométrie Écritures algébrique et trigonométrique Exercice 1 — Mise sous forme algébrique Donner l’écriture algébrique des nombres complexes suivants. 1. (2 −5i)(3 + i) 2. 3 + 2i i −1 3. (1 −i)32 4. (2 −i)3 5. 1 1 + i 6. (12 + 5i)(3 −i) 7. i −3 i + 2 8. (3 + 2i) (1 + i)(i −1) 9. 7 + 3i 1 −i + 2i Exercice 2 — Mise sous forme trigonométrique Donner une écriture trigonométrique des nombres complexes suivants. 1. −3i 2. −1 2 + i √ 3 2 3. 1 −i √ 3 4. −1 2 + i √ 3 2 ! 3 + i √ 3  5. −1 2 + i √ 3 2 !4 6. 3 + i √ 3 7. 1 + i 8. (1 −i) −1 + i √ 3  9. (1 −i)7 10. √ 2 2 −1 −i i 11. −3 exp (4) Exercice 3 — Des formules de trigo avec de vraies lettres Soit α un réel. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants. 1. (cos(α) + i sin(α))4 2. −cos(α) −i sin(α) 3. cos(−α) + i sin(α) 4. −2i cos(α) + 2 sin(α) 5. sin(α) + i cos(α) 6. 1 + i tan(α) Exercice 4 — Quelles belles racines ! Déterminer le module et un argument de − p 2 + √ 3 + i p 2 − √ 3. Exercice 5 — Découper une tarte en cinq (ou comment briller en soirée) On pose a = exp 2iπ 5  , S = a + a4 et T = a2 + a3. 1. Calculer S + T et ST. 2. Montrer que S = 2 cos 2π 5  et T = 2 cos 4π 5  . 3. En déduire la valeur de cos 2π 5  . Lycée Pierre-Gilles de Gennes 1 Adriane Kaïchouh BCPST 1 2020-2021 Exercice 6 — Découper une tarte en vingt-quatre (ou comment briller longtemps en soirée) On considére les nombres complexes suivants : z1 = √ 6 −i √ 2 2 , z2 = 1 −i et z3 = z1 z2 . 1. Mettre sous forme trigonométrique ces trois complexes. 2. Donner les valeurs exactes de cos  π 12  et sin  π 12  . Résolution d’équations complexes Exercice 7 — Une jolie équation du second degré Soit u ∈]0; π[. On considère l’équation suivante d’inconnue z complexe : z2 + 2 [1 −cos(u)] z + 2 [1 −cos(u)] = 0. Trouver les solutions de cette équation et les mettre sous forme trigonométrique. Exercice 8 — Racines sixièmes Résoudre les équations suivantes d’inconnue z complexe. 1. z6 = −8 2. (z −1)6 + (z + 1)6 = 0 Exercice 9 — Une exponentielle qui cache bien son jeu Soit a un élément de i 0; π 2 h . Soit n un entier naturel non nul. Résoudre l’équation suivante d’inconnue z complexe : zn = 1 −i tan(a) 1 + i tan(a). Un peu de géométrie dans ce monde de brutes Exercice 10 — Des ronds dans l’eau Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que : 1. |z −1 −i| = √ 2 ; 2. |¯ z + i| ⩾2. Exercice 11 — De jolis dessins Déterminer les points M du plan d’affixe z tels que : 1. 1 + 2iz z −1 soit de module 2. 2. z −i −1 iz + 1 2 soit réel. Exercice 12 — Une superbe droite Déterminer et tracer le lieu des points M du plan d’affixe z tels que |z −1| = |z −i| . Lycée Pierre-Gilles de Gennes 2 Adriane Kaïchouh BCPST 1 2020-2021 Équations trigonométriques Exercice 13 — Quand deux sinus s’égalent Résoudre les équations suivantes sur R puis sur ] −π; π]. 1. sin(x) = −sin 7π 5  2. sin(2x) = cos π 3  3. sin(3x) = sin π 5  4. sin(x) = −sin π 2  5. cos(2x) = cos π 3 + x  6. cos(x) = sin 2x 3  Exercice 14 — Valeurs particulières sur le cercle trigonométrique Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle. 1. tan(x) = √ 3 2. sin(2x) = √ 3 3. sin(x) = − √ 2 2 4. 2 cos(x) = 1 5. tan(x) = −1 Exercice 15 — Inéquations trigonométriques Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue x réelle. 1. sin(x) < π 2. sin(x) ⩾− √ 2 2 3. sin(x) ⩽− √ 3 2 4. tan(x) > √ 3 5. cos(x) ⩾cos π 3  6. sin(x) ⩾cos π 3  Exercice 16 — Phase et amplitude Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle. 1. √ 3 cos(7x) −sin(7x) = 1 2. cos(2x) − √ 3 sin(2x) = 2 cos(x) Exercice 17 — Redécouper une tarte en vingt-quatre 1. Résoudre l’équation suivante d’inconnue t ∈ i −π 4 , π 4 h : 2 tan(t) 1 + tan2(t) = 1 2. 2. En déduire la valeur exacte de tan  π 12  . Exercice 18 — Une seule solution, la résolution Comment doit-on choisir w pour que l’équation suivante 1 + sin2(wx) = cos(x), d’inconnue x réelle, ait une unique solution ? Lycée Pierre-Gilles de Gennes 3 Adriane Kaïchouh BCPST 1 2020-2021 Exercice 19 — Hyperformules de trigo Pour tout entier naturel n, on appelle (En) l’équation suivante d’inconnue x réelle : cosn(x) + sinn(x) = 1 (En). 1. Résoudre (E2). 2. Résoudre (E0). 3. Résoudre (E1). 4. Résoudre (En) pour tout entier naturel n supérieur à 2. Troisième loi de Moivre : linéarisation-délinéarisation ! Exercice 20 — Linéarisation Soit x un réel. Linéariser les expressions suivantes. 1. cos4(x) 2. cos4(x) sin2(x) 3. sin3(x) Exercice 21 — Délinéarisation Soit x un réel. Délinéariser les expressions suivantes. 1. cos(4x) 2. sin(6x) 3. cos(3x) 4. sin(3x) 5. cos(7x) 6. sin(7x) Exercice 22 — Abraham et Isaac Soient n un entier naturel non nul et x un réel. 1. Calculer n X k=0 n k  sin(kx). 2. Calculer X 1⩽2k⩽n (−3)k  n 2k  à l’aide de (1 + i √ 3)n. Exercice 23 — Vingtièmes de tarte 1. Pour tout x ∈R, exprimer cos(5x) en fonction de cos(x). 2. En déduire la valeur de cos  π 10  . Exercice 24 — De belles équations Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle. 1. cos2(x) −sin2(x) = sin(2x) −1 2. sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0 Exercice 25 — Une chouette formule de trigo et une équation Soient x un réel et n un entier naturel non nul. 1. Montrer que cos ((n + 1)x) + cos ((n −1)x) = 2 cos(x) cos(nx). 2. En déduire une expression de cos(3x) en fonction de cos(x). 3. Résoudre l’équation suivante d’inconnue x réelle puis en préciser les solutions comprises dans ] −π; π] : 4 cos3(x) −3 cos(x) − √ 2 2 = 0. Lycée Pierre-Gilles de Gennes 4 Adriane Kaïchouh uploads/s3/ td4-complexes-et-trigonometrie 1 .pdf

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