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ENS Lyon Algèbre 1 L3 2015-2016 TD n°5 : Représentations et tables de caractère

ENS Lyon Algèbre 1 L3 2015-2016 TD n°5 : Représentations et tables de caractères Exercice 1. [Norme d'un élément de CG] Soit x = P g∈G ageg un élément de CG. On peut munir CG d'une multiplication de la façon suivante : (P g∈G ageg)(P h∈G bheh) = P g,h∈G agbhegh. Cette loi est associative et unitaire de neutre e1. On peut donc munir CG d'une structure de C-algèbre. 1. Montrer que la matrice de l'application µx : y 7→xy dans la base canonique (eg)g∈G est la matrice G-circulante M = (agh−1)g,h∈G. 2. En déduire la norme de x. Exercice 2. [Table de caractères de S5] On cherche ici à dresser la table de caractères de S5. On notera ε la signature, et on rappelle qu'on connaît une représentation de dimension 4 qui est la représentation standard de S5. 1. Donner des représentants des classes de conjugaison de S5 et le cardinal de chacune de ces classes. 2. Calculer le caractère de la représentation standard (on notera par la suite H pour la repré- sentation standard). 3. Montrer que la représentation H(ε) est irréductible non isomorphe à H, et donner son ca- ractère. 4. En faisant agir S5 sur les paires d'éléments distincts de {1, . . . , 5}, construire une représen- tation de dimension 10 de S5. 5. Montrer que cette représentation se décompose comme somme de trois représentations irré- ductibles, dont la standard et la triviale. 6. En déduire que S5 possède une représentation irréductible, qu'on notera W, de dimension 5, et calculer son caractère. 7. En utilisant l'orthogonalité des caractères, montrer que W ′ = W(ε) n'est pas isomorphe à W. 8. Dresser la table de caractères de S5. Exercice 3. [Groupes non abéliens d'ordre 8] 1. Rappeler les classes de conjugaison du groupe dihédral D8 et ses caractères linéaires. En déduire sa table de caractères. 2. Notons H8 = {±1, ±i, ±j, ±k} le groupe des quaternions, où i2 = j2 = k2 = −1 et k = ij = −ji. Calculer ses classes de conjugaison et son groupe dérivé. 3. Montrer que H8 possède quatre caractères linéaires distincts. En déduire sa table de carac- tères. La comparer avec celle de D8. 4. Montrer que les deux groupes D8 et H8 ne sont pas isomorphes. Exercice 4. [Décomposition en irréductibles de représentations de S4] Soit H la représentation standard de S4 et soit V la représentation irréductible de S4 de dimension 2 obtenue à partir de la représentation standard de S3. Déterminer les décompositions en irréductibles des représentations Hom(V, H) et End(H). Exercice 5. [Produits scalaires invariants] Soit V une représentation irréductible d'un groupe G. Soient < ., . > et (., .) deux produits scalaires hermitiens sur V et invariants sous G. 1. Montrer qu'il existe λ > 0 tel que [., .] =< ., . > −λ(., .) soit positif mais pas dé ni positif. 2. Montrer que la condition [x, x] = 0 dé nit une sous-représentation de V . 3. En déduire que < ., . > et (., .) sont proportionnels. Montrer que ce résultat n'est plus vrai lorsque V est réductible. 1 uploads/s3/ td5.pdf