Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Comment utiliser le principe de recurrence

Savoir utiliser le principe de récurrence Fiche Suites ?? Méthodes et Annales ?? http exos math free fr Rappel de cours Théorème Principe de récurrence Soit P n une proposition mathématique qui dépend d ? un entier naturel n Soit n un entier naturel Si P n est vraie et si pour tout entier naturel n ? n donné P n vraie implique P n vraie alors pour tout entier naturel n ? n P n est vraie Méthode Le raisonnement par récurrence comporte deux étapes distinctes ? Initialisation on montre que la proposition P n est vraie Le plus souvent n mais faites attention c ? est bien le premier entier pour lequel on dé ?nit la proposition P n ? Hérédité ou transmission on suppose qu ? il existe un entier naturel naturel n tel que P n soit vraie c ? est l ? hypothèse de récurrence et on montre que P n est vraie c ? est à dire P n vraie ?? P n vraie Remarque La rédaction est imposée Cela signi ?e que vous devriez apprendre la formulation par coeur Exercice France Soit la suite numérique un dé ?nie sur N par u et pour tout entier naturel n un un n Démontrer que pour tout entier naturel n un ? n Exercice Asie On considère la suite un dé ?nie sur N par u et pour tout entier naturel n un un un Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on un Exercice Nous allons démontrer le résultat par récurrence ? Proposition Pour tout entier naturel n posons la phrase de récurrence P n un ? n ? La phrase de récurrence doit être avec des guillemets En e ?et pour le moment nous ne savons pas qu ? elle vraie ? Initialisation Le premier terme est u Puisque l ? on a u et P u ? P est vraie ? Hérédité On suppose qu ? il existe un entier naturel naturel k tel que P k soit vraie On a uk uk k et par hypothèse de récurrence uk ? k En ? multipliant par un nombre positif uk ? k soit uk ? k Puis en ajoutant un même nombre dans chaque membre uk k ? k k Ce qui donne uk ? k ? k On a donc montré que uk ? k c ? est à dire que P k est vraie ? Conclusion On vient de montrer par le principe de récurrence que pour tout entier naturel n P n est vraie C ? est à dire que pour tout entier naturel n un ? n Notez que les guillemets ont disparu Exercice ? Proposition Pour tout entier naturel n posons P n un ? ? Initialisation u et P u P est vraie ? Hérédité On suppose qu ? il existe un entier naturel naturel p tel que P p soit vraie On a up up up up ?? up up up up up