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TRAITEMENT du SIGNAL – M. SABRI – Faculté des Sciences et Techniques BENI MELLA

TRAITEMENT du SIGNAL – M. SABRI – Faculté des Sciences et Techniques BENI MELLAL - 2008 1 TABLE des MATIERES Ch. I RAPPELS MATHEMATIQUES 03 SERIES et TRANSFORMEES de FOURIER DISTRIBUTIONS PROBABILITES Ch. II INTRODUCTION aux signaux et systèmes 09 I- Les DSP II- CLASSIFICATION des SIGNAUX III- DEFINITIONS et EXEMPLES IV- ANALYSE d’un SIGNAL V- CORRELATION Ch. III ECHANTILLONNAGE 16 I- THEOREME de SHANNON II- ECHANTILLONNAGE REEL III- RECONSTITUTION Ch. IV SYSTEMES NUMERIQUES 22 I- SIGNAUX NUMERIQUES II- SYSTEMES NUMERIQUES LINEAIRES INVARIANTS III- EQUATION aux DIFFERENCES Ch. V TRANSFORMEE de FOURIER DISCRETE ___ 28 I- INTRODUCTION II- EFFETS de LA DISCRETISATION de LA FREQUENCE III- TFD d’un SIGNAL à DUREE LIMITEE IV- PROPRIETES de LA TFD V- TFD des SIGNAUX A DUREE ILLIMITEE VI- APPROXIMATION de LA TF des SIGNAUX ANALOGIQUES Ch. VI TRANSFORMEE de FOURIER RAPIDE _34 I- Mise en forme de la TFD II- Algorithme FFT III- Mise en oeuvre IV- Organigramme et programme sur Matlab Ch. VII MODULATIONS NUMERIQUES _42 I- Introduction II- Principe de modulations numériques III- Modulation ASK IV- Modulation PSK V- Modulation QAM VI- Modulation FSK VII- Applications TRAITEMENT du SIGNAL – M. SABRI – Faculté des Sciences et Techniques BENI MELLAL - 2008 2 Ch. VIII FILTRAGE et DENSITES SPECTRALES 49 I. DENSITES SPECTRALES II. FILTRAGE Ch. IX DETECTION et ESTIMATION 56 I- Introduction II- Rapport signal sur bruit III- Filtre optimal IV- Filtre adapté V- Filtre de Wiener VI- Détection par inter corrélation VII- Estimation de la densité spectrale Ch. X TRANSFORMEE en Z 66 I- INTRODUCTION II- DEFINITION III- TRANSFORMEE en Z INVERSE IV- PROPRIETES V- FONCTION de TRANSFERT Ch. XI FILTRAGE NUMERIQUE 76 I- INTRODUCTION II- FILTRES IDEAUX et GABARIT III- FILTRES A REPONSE IMPULSIONNELLE DE DUREE FINIE (RIF) IV- FILTRES A REPONSE IMPULSIONNELLE DE DUREE INFINIE (RII) V- SYSTEMES A PHASE MINIMUM Ch. XII Une INTRODUCTION aux DSP 91 I- INTRODUCTION II- PRESENTATION III- CLASSIFICATION IV- ARCHITECTURES V- DEVELOPPEMENTS FORMULAIRES 97 BIBLIOGRAPHIE 98 TRAITEMENT du SIGNAL – M. SABRI – Faculté des Sciences et Techniques BENI MELLAL - 2008 3 Ch. I : RAPPELS MATHEMATIQUES SERIES et TRANSFORMEES de FOURIER DISTRIBUTIONS PROBABILITES I. ESPACES des SIGNAUX On note s(t) un signal physique déterministe dépendant de la variable temps t. 1- signaux intégrables :  ) ( 1 L {s /     dt t s ) ( } On définit la norme de la convergence en moyenne : ||s||1=  dt t s ) ( 2- signaux de carré sommable :  ) ( 2 L {s /     dt t s 2 ) ( } On définit la norme de la convergence en moyenne quadratique : ||s||2=   dt t s 2 ) ( 3- signaux à décroissance rapide S(R) : C’est le sous espace de L1 des signaux s(t) tels que : 0 ) ( ) (       t s t Lim N p p t . 4- signaux indéfiniment dérivables : C∞ 5- signaux indéfiniment dérivables à support borné : D II. SERIES de FOURIER Soit s(t) dans L1[0,T] périodique de période T. La décomposition en série de Fourier de s(t) s’écrit :      n T t n j ne c t s  2 ) ( (1)    T T t n j n dt e t s T c 0 2 ) ( 1  (2) (cn) n est le spectre de Fourier du signal s(t). Selon l’espace des signaux on a : Dans l’espace L1 0     n c Lim n Dans l’espace L2      n n c  2 Dans l’espace C 1      n n c  TRAITEMENT du SIGNAL – M. SABRI – Faculté des Sciences et Techniques BENI MELLAL - 2008 4 Dans l’espace C 2 2 n K cn  Dans l’espace C∞ 0 ) (        n kc n Lim k n Théorème de Dirichlet (convergence locale) : Soit s dans L1[0,T] de période T. t0 étant un point de discontinuité de s, si les limites et les dérivées de s(t) à droite et à gauche de t0 existent, alors : Théorème de Perceval       T dt t s T n c 0 2 2 ) ( . 1 ) ( (4) III . TRANSFORMEE de FOURIER et CONVOLUTION On définit la transformée de Fourier S=F(s) d’un signal s par :       dt e t s f S ft j  2 ) ( ) ( (5) Théorème de Riemann-Lebesgue Etant donné s dans L1  S est une fonction continue et bornée sur R.  F est un opérateur linéaire et continu de L1 dans L∞  0 ) (      f S Lim f Théorème de Perceval      dt t s df f S 2 2 ) ( ) ( (6) Convolution On définit la convolution de deux signaux x et y par :        du u t y u x t y x ) ( ) ( ) )( ( (7) On a les propriétés suivantes, selon l’espace des signaux de travail : x, y dans L1 F(xy)=X.Y x, y,X, Y dans L1 F(x.y)=XY x, y dans L2 F(x.y)=XY et xy= F*(X.Y) x dans L2 , y dans L1 xy= F*(X.Y) presque partout           N N T t n j n t s t s e c Lim N )) ( ) ( ( 2 1 ) ( 0 0 2 0  TRAITEMENT du SIGNAL – M. SABRI – Faculté des Sciences et Techniques BENI MELLAL - 2008 5 Transformées usuelles x(t) X(f) x(t-τ) e-j2πfτX(f) Retard ej2πθtx(t) X(f-θ) Déphasage x(a.t) ) ( 1 a f X a Changement d’échelle e-a|t| 2 2 2 4 2 f a a   ; Re(a)>0 Lorentzienne, amortissement 2 at e 2 2 f a e a    ;a>0 Gaussienne, cas particulier a= IV. DISTRIBUTIONS D étant l’espace des signaux indéfiniment dérivables à support borné, on appelle distribution T toute application linéaire continue de D dans l’espace des complexes C. L’espace des distributions est noté D’ (Dual topologique de D). T(υ)=<T,υ>   D (8) La dérivée d’une distribution T T(k)(υ)=<T(k),υ>=(-1)(k)<T,υ(k)> (9) Distribution associée à une fonction f <Tf,υ>=<f,υ>=     dt t t f ) ( ) (  (10) Distributions tempérées Ce sont les applications linéaires continues de S , espace des signaux à décroissance rapide, dans C. Leur espace est le dual de S noté S’. Distribution de Dirac δ δ(υ)=< δ,υ>=υ(0) (11.1) δa(υ)=< δa,υ>=υ(a) (11.2) δ’(υ)=-υ’(0) (11.3) δ’’(υ)=υ’’(0) (11.4) δ est l’élément neutre de la convolution : < sδ,υ>=<s,υ> (12) Usage pratique (abusif) de δ :       ) ( ) ( ). (    x dt t t x (13.1) TRAITEMENT du SIGNAL – M. SABRI – Faculté des Sciences et Techniques BENI MELLAL - 2008 6     1 ) ( dt t  (13.2) δ(0)=1 (13.3) Dérivée d’une fonction discontinue s étant un signal discontinu au point t0 et ayant des limites finies à droite et à gauche de t0, la dérivée de s est une distribution : T=[s (t0+)-s(t0-)].δ + s’ (14) s’ étant la fonction dérivée de s pour t différent de t0 et nulle au point t0. V. TRANSFORMEE de FOURIER des DISTRIBUTIONS La transformée de Fourier F(T) d’une distribution T est la distribution F(T) définie par : <F(T),υ>=<T,F(υ)> (15) F(υ),   D. T F (T) δa e-j2πaf ej2πat δa sign(t) f j 1 . 1  u(t) (échelon un au point 0) f j 1 . 2 1 2 1   Sin(2πf0 t) j f f f f 2 ) ( ) ( 0 0      Cos(2πf0 t) 2 ) ( ) ( 0 0 f f f f      VI. TRANSFORMEE de LAPLACE On définit la transformée de Laplace S(p) d’un signal s par :     0 ) ( ) ( dt e t s p S pt (16) 1 1/p t 1/p2 s’ (t) p.S(p)-s(0) Application aux équations différentielles linéaires à coefficients constants a.x’’(t)+b.x’(t)+c.x(t)=y(t) , devient : c p b p a x b p a x a p Y p X       . . ) 0 ( ). . ( ) 0 ( ' . ) ( ) ( 2 TRAITEMENT du SIGNAL – M. SABRI – Faculté des Sciences et Techniques BENI MELLAL - 2008 7 VII. ELEMENTS de PROBABILITES Variable aléatoire X est une variable aléatoire lorsque les valeurs x qu’elle peut prendre dépendent du hasard selon une loi de probabilité appelée distribution. Fonction de répartition F(x)=Prob(X ≤ x) (17) Propriétés F (-∞)= uploads/s3/ traitement-signal-pdf.pdf