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Transformations de Lorentz Cet article présente les transformations de Lorentz

Transformations de Lorentz Cet article présente les transformations de Lorentz sous un aspect technique. Le lecteur désireux d'obtenir des informations physiques plus générales à ce sujet pourra se référer à l'article relativité restreinte. Les transformations de Lorentz sont des transformations linéaires des coordonnées d'un point dans l'espace-temps de Minkowski, à quatre dimensions (trois d'espace et une de temps) et relativiste. Dans le cadre de la relativité restreinte, les transformations de Lorentz correspondent à la loi de changement de référentiel galiléen, pour laquelle les équations de la physique doivent être préservées, ainsi que la vitesse de la lumière qui est la même dans tout référentiel galiléen, tout en préservant les orientations de l'espace et du temps. La forme la plus courante est : Où (t, x, y, z) et (t′, x′, y′, z′) représentent les coordonnées d'un événement dans deux référentiels inertiels dont la vitesse relative est parallèle à l'axe des , est la vitesse de la lumière, et est le facteur de Lorentz. À noter : les formules ci-dessus ne sont valables que si les deux référentiels ont la même origine (ce qui n'est possible que ponctuellement). L'ensemble des « transformations de Lorentz propres et orthochrones » est composé des transformations spécifiques mentionnées ci-dessus (parfois nommées transformations spéciales de Lorentz ou boost de Lorentz) et des rotations dans l'espace à trois dimensions, et forme un groupe nommé « groupe spécial de Lorentz ». Les transformations de Lorentz du champ électromagnétique sont identiques. Suivant que la théorie dans laquelle on travaille ait trait ou non à la physique quantique, le terme « transformations de Lorentz » désigne des transformations qui peuvent être différentes. Dans tous les cas, l'ensemble des transformations désigné forme un sous-groupe du groupe de Poincaré. Dans le cadre de la physique quantique relativiste, comme en théorie quantique des champs, ce sont les transformations linéaires de l'espace-temps qui laissent les lois invariantes (en l'absence de charge électrique), ce qui englobe les précédentes et en amène d'autres pour former aussi un groupe nommé « groupe de Lorentz » : la symétrie T et la parité s'invitent parmi les transformations de Lorentz et, comme elles sont interprétées comme des changements d'orientation des axes, elles ne sont pas utiles en relativité restreinte. Hendrik Lorentz en 1916 Dans l'introduction à la publication « Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la physique mathématique », Acta Matematica, vol. 38, p. 293-308, en 1921, Hendrik Lorentz précise que c'est pour faire en sorte que les équations de Maxwell s'écrivent à l'identique dans tout référentiel galiléen que Henri Poincaré a introduit mathématiquement cette loi , en la baptisant du nom de Lorentz. Ce dernier en avait donné une version qu'il a, plus tard, jugée imparfaite . Les formules Présentations les plus courantes Présentation comme rotation hyperbolique Présentation sous forme diagonalisée Limites non relativistes Groupe de Galilée Groupe de Carroll Différentes méthodes pour trouver les transformations La méthode géométrique[11] La méthode partant de l'invariance de la pseudo-norme Histoire et genèse des transformations de Lorentz Notes et références Voir aussi Articles connexes Liens externes En relativité restreinte On considère deux référentiels et en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre à la vitesse parallèle à l'axe des x, et on note respectivement et les trois coordonnées spatiales et le temps permettant de repérer un même événement observé depuis chacun de ces référentiels. De plus et 1 2, 3 F et F', deux référentiels inertiels pour localiser un même événement. Sommaire Les formules Présentations les plus courantes 4 représentent les différences de coordonnées entre deux événements, ces différences étant observées depuis chaque référentiel. Les transformations de Lorentz entre ces deux référentiels sont alors : en posant et , on écrit : Sous forme matricielle, ces transformations de Lorentz s'écrivent : où la matrice notée satisfait les propriétés attendues suivantes : possède la même structure que , mais après changement du signe de où est la matrice diagonale correspondant à la matrice de la forme quadratique associée à la pseudo-norme de l'espace de Minkowski. En physique quantique relativiste Les transformations de Lorentz qui doivent laisser invariantes les équations (en l'absence de charge électrique) sont : avec indiquent s'il y a un changement d'orientation temporelle et/ou spatiale. En considérant l'inversion temporelle T et l'inversion spatiale P, toute transformation utilisée en physique quantique est de la forme , avec une transformation de Lorentz de la relativité restreinte (orthochrone et propre) et . Le groupe des transformations propres et orthochrones étant connexe, la décomposition ci-dessus permet de voir que le groupe de Lorentz est formé de quatre composantes connexes, et que le groupe des transformations spéciales (i.e : de déterminant positif) est composé de deux composantes connexes. L'égalité montre que , ce qui permet de définir la rapidité entre les deux référentiels inertiels, à l'aide des fonctions hyperboliques, par et soit encore en utilisant . On obtient en écriture matricielle : Les transformations de Lorentz sont présentées alors comme une rotation hyperbolique d'angle (la rapidité) dans l'espace- temps de Minkowski. Avec les définitions et propriétés des fonctions de la trigonométrie hyperbolique, on obtient une présentation un peu différente des transformations de Lorentz : sous forme matricielle : ce qui en est une forme diagonalisée avec des choix de repères dont deux axes forment l'intersection du cône de lumière avec le plan (Oxt), ou (Ox't') pour l'autre repère, et qui sont impossibles à matérialiser dans l'espace physique à trois dimensions. Les formules du groupe de Lorentz peuvent s'approximer dans le cas où la vitesse du corps est petite devant celle de la lumière, ou, ce qui revient au même, en faisant tendre la vitesse de la lumière vers l'infini. En négligeant le terme dans les formules, on retrouve alors le groupe de Galilée qui est le groupe des transformations correspondantes aux changements de référentiel en physique classique. Présentation comme rotation hyperbolique Présentation sous forme diagonalisée Limites non relativistes Groupe de Galilée Groupe de Carroll Le groupe de Carroll est une autre approximation non relativiste des éléments du groupe de Lorentz dans le cas où on s'intéresse aux intervalles grands de genre espace. Cette approximation, découverte par Jean-Marc Lévy-Leblond en 1965, n'a d'intérêt que pédagogique, d'après son découvreur . Pour la relativité restreinte, Einstein a initié une méthode : À partir du principe de relativité et de l'invariance de la vitesse de la lumière par changement de référentiel, de l'homogénéité et de l'isotropie supposées de l'espace, et à l'aide d'une représentation géométrique d'une situation idéale où deux référentiels inertiels permettent de voir, mesurer les longueurs, et chronométrer le temps d'un référentiel à l'autre, on démontre les différentes formules par un système d'équations linéaires dont il faut trouver les coefficients. Les transformations non physiques sont parfois écartées sans détail par le choix de la solution positive dans une équation du second degré, choix dû à l'hypothèse physique de l'orientation des repères par une règle telle que celle de la main droite, illustrée par la représentation géométrique accompagnant le raisonnement . En physique quantique relativiste, comme en théorie quantique des champs, les transformations utilisées sont définies comme les symétries de l'espace de Minkowski qui laissent inchangées les équations (en l'absence de charge électrique). Cela revient à déterminer les transformations linéaires laissant inchangé l'intervalle d'espace-temps : c'est une définition mathématique pour laquelle les changements de référentiel pour des observateurs ne sont que certaines de ces transformations et qui permet de les trouver toutes. Cette méthode est aussi utilisée dans certains manuels de relativité restreinte, après avoir démontré que l'invariance de l'intervalle d'espace-temps par changement de référentiel découle directement des deux axiomes de la relativité restreinte, et en éliminant les transformations qui ne respectent pas la convention d'orientation pour les repères tridimensionnels (règle de la main droite, en général) et d'orientation de l'axe du temps vers le futur ; élimination faite de diverses manières, parfois marquées du sceau de l'évidence , et parfois plus justifiées . On peut aussi retrouver ces transformations en cherchant les applications linéaires de l'espace-temps à quatre dimensions, mais a priori sans métrique, conservant la forme des équations de Maxwell . On suppose que l'espace-temps physique est un espace affine où les référentiels, dont seuls sont considérés ceux qui sont inertiels, sont identifiés aux repères cartésiens de cet espace affine. De plus on néglige les translations constantes entre les repères qui ne se manifestent que par des additions de nombres constants aux coordonnées. Donc, la transformation des coordonnées s'effectue au moyen d'une application linéaire, représentable par une matrice : Démonstration Soient deux référentiels et en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre sur des axes parallèles, avec une vitesse relative v selon l'axe Ox. Soient les coordonnées spatio-temporelles d'un événement dans le référentiel , et ses coordonnées dans le référentiel . (Pour simplifier les notations, on ne tiendra pas compte dans ce paragraphe des deux autres composantes spatiales y et z). Utilisation du principe de relativité : Par le principe de relativité, les coefficients de la transformation linéaire ne dépendent que de la vitesse relative entre les référentiels, et d'aucune considération extérieure à ces deux uploads/s3/ transformations-de-lorentz.pdf