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BTS DOMOTIQUE Nombres complexes 2008-2010 NOMBRES COMPLEXES Table des matières

BTS DOMOTIQUE Nombres complexes 2008-2010 NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction 2 I.1 Le nombre i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II Forme algébrique 3 II.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II.2 Premiers calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.4 Conjugué d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.5 Inverse d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 IIIForme trigonométrique 6 III.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III.2 Argument d’un complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 III.3 Écriture trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 IV Forme exponentielle 9 IV.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 IV.2 Règles de calcul en notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 V Formules de MOIVRE et d’EULER 10 V.1 Formule de MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 V.2 Formules d’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VI Lignes de niveau 11 VII Équations du second degré 12 Les chemins de la création mathématique sont imprévisibles et résultent parfois d’audacieuses transgressions des règles et savoirs établis. Le simple fait d’avoir introduit dans les calculs un symbole pour désigner des racines carrées de nombres négatifs a conduit au ﬁl des siècles à élaborer la puissante théorie des nombres complexes. http://mathematiques.daval.free.fr -1- BTS DOMOTIQUE Nombres complexes 2008-2010 I Introduction Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, 9 a pour racines carrées 3 et −3. Par contre, aucun réel négatif n’a de racine carrée (réelle). Les nombres complexes oﬀrent la possibilité de pallier à cette injustice ! I.1 Le nombre i Le nombre i est un nombre dont le carré vaut −1. Ainsi, i2 = −1. De plus, son opposé −i a aussi pour carré −1. En eﬀet : (−i)2 = i2 = −1. Les deux racines de −1 sont les deux nombres réels i et −i. Un peu d’histoire : La notation i fut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au début du XIXème siècle. Cependant, le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 1637. I.2 L’ensemble des nombres complexes On connait déjà 5 ensembles permettant de "ranger" les nombres : il s’agit de N, Z, D, Q et R : N 0 1 √ 9 103 6 3 Z −1 − √ 4 −37 −10025 D 0.008 −1.2 3 25 1 106 Q 0.333 −13 19 1 6 q 4 9 R π 1236π √ 2 −2π 3 Déﬁnition 1 On déﬁnit l’ensemble C qui a les caractéristiques suivantes : ® Ses éléments sont appelés nombres complexes, ® Il contient le nombre i vériﬁant i2 = −1. Remarque 1 C est alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a : N ⊂Z ⊂D ⊂Q ⊂R ⊂C. http://mathematiques.daval.free.fr -2- BTS DOMOTIQUE Nombres complexes 2008-2010 II Forme algébrique II.1 Déﬁnition Déﬁnition 2 Chaque élément z de l’ensemble C s’écrit de manière unique z = a + ib, a et b étant des réels. ® a est appelé partie réelle de z et est noté Re(z), ® b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z). Remarque 2 Nombres particuliers : • si b = 0, on a z = a, z est donc réel, • si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur. Exemple 1 Dans chacun des exemples suivants, on donne la partie réelle et la partie imaginaire : z = 2 + 3i a = 2 b = 3 z = −1 + 1 2i a = −1 b = 1 2 z = −i a = 0 b = −1 z = π a = π b = 0 z = 4i −1 3 a = −1 3 b = 4. Propriété 1 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : z = z′ ⇔ a + ib = a′ + ib′ ⇔ a = a′ et b = b′. II.2 Premiers calculs Propriété 2 On pose z = a + ib, z′ = a′ + ib′ et k un réel, on a : o z + z′ = (a + a′) + i(b + b′), o z −z′ = (a −a′) + i(b −b′), o kz = ka + ikb, o zz′ = (aa′ −bb′) + i(ab′ + a′b). Démonstration de la dernière propriété : zz′ = (a + ib)(a′ + ib′) = aa′ + iab′ + ia′b + i2bb′ = aa′ + iab′ + ia′b −bb′ = (aa′ −bb′) + i(ab′ + a′b). http://mathematiques.daval.free.fr -3- BTS DOMOTIQUE Nombres complexes 2008-2010 Exemple 2 Soit z = 2 + 3i et z′ = i −5, on a : z + z′ = 2 + 3i + i −5 = −3 + 4i, z −z′ = 2 + 3i −(i −5) = 2 + 3i −i + 5 = 7 + 2i, 2z −3z′ = 2(2 + 3i) −3(i −5) = 4 + 6i −3i + 15 = 19 + 3i, zz′ = (2 + 3i)(i −5) = 2i −10 + 3i2 −15i = 2i −10 −3 −15i = −13 −13i, z2 = (2 + 3i)2 = 22 + 2 × 2 × 3i + (3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = 4 + 12i −9 = −5 + 12i. II.3 Représentation graphique Déﬁnition 3 On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O; − → u ; − → v ). ® Au point M de coordonnées (a; b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib, On dit que z = a + ib est l’aﬃxe du point M. ® Au vecteur − → w de coordonnées (a; b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib, On dit que z = a + ib est l’aﬃxe du vecteur − → w . ® Lorsqu’on repère un point ou un vecteur par uploads/s3/ bts-cours-11-complexes.pdf