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09/01/2012 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET VARIABLES ALÉATOIRES DS4 Exercice 1 Par

09/01/2012 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET VARIABLES ALÉATOIRES DS4 Exercice 1 Partie A – Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E) : y' '−3 y'−4 y=−5e−x où y est une fonction de la variable x , définie et deux fois dérivable sur R, y' la fonction dérivée de y ,et y' ' sa fonction dérivée seconde. 1. Déterminer les solutions sur R de l'équation différentielle : (E0) y' '−3 y'−4 y=0 2. Soit h la fonction définie sur R par : h(x)=xe−x . Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales f (0)=2 et f ' (0)=−1 . Partie B – Étude locale d'une fonction La courbe c ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur R par f (x)=(x+2)e−x . 1. Tracer la tangente à c au point d'abscisse 0 . En déduire graphiquement l'équation de cette tangente. 2. a) On admet le résultat suivant : lim x →+∞xe−x=0. Calculer lim x →+∞f (x) . b) En déduire que la courbe c admet une asymptote dont on donnera une équation. 3. a) Démontrer que, pour tout x de R, f ' (x)=(x+1)e−x b) Résoudre dans R l'inéquation f ' (x)⩾0 . c) En déduire le sens de variation de f sur R. Exercice 2 On considère l'équation différentielle (E) : y'+y=(2x+3)e−x où l'inconnue y est une fonction de la variable x , définie et dérivable sur R, et où y' est la fonction dérivée de y . 1. Résoudre l'équation différentielle (E0) : y'+y=0 2. Vérifier que la fonction g définie sur R par g(x)=(x2+3x)e−x est une solution particulière de (E). 3. Résoudre sur R l'équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de cette équation qui vérifie la condition initiale f (0)=1 . -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 09/01/2012 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET VARIABLES ALÉATOIRES DS4 Exercice 3 – Attention à la rédaction !! Une entreprise fabrique des barres de combustible pour des centrales électriques. Des pastilles de combustible sont introduites dans des gaines qui servent à réaliser ces barres. Une gaine est considérée comme conforme pour le diamètre lorsque le diamètre intérieur, exprimé en millimètres, appartient à l'intervalle [8,18;8,48] . On considère un stock important de gaine. On note E l'évènement : "une gaine prélevée au hasard dans le stock n'est pas conforme pour le diamètre intérieur". On suppose que P(E)=0,096 . On prélève au hasard 50 gaines dans le stock pour vérification du diamètre intérieur. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 gaines. On considère la variable aléatoire Y qui, a tout prélèvement de50 gaines ainsi défini, associe le nombre de gaines non conformes pour le diamètre intérieur de ce prélèvement. 1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, cinq gaines ne soient pas conformes pour le diamètre intérieur. 3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux gaines ne soient pas conformes pour le diamètre intérieur. Exercice 4 On considère l'équation différentielle (E) : y'−4 y=2e3 x où l'inconnue y est une fonction de la variable x , définie et dérivable sur R, et où y' est la fonction dérivée de y . 1. Résoudre l'équation différentielle (E0) : y'−4 y=0 . 2. Déterminer la constante réelle a telle que h(x)=ae3 x soit une solution particulière de (E). 3. En déduire la solution générale de (E). 4. Déterminer la solution particulière f de (E) vérifiant la condition initiale : f (0)=0 . uploads/s3/ bts-ds4.pdf