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Transferts turbulents 5. Introduction ` a la couche limite turbulente R´ esum´

Transferts turbulents 5. Introduction ` a la couche limite turbulente R´ esum´ e Dans ce chapitre nous indiquons qu’au del` a d’un certain nombre de Reynolds, les ´ ecoulements ne sont plus laminaire et deviennent turbulents. Nous introduisons la couche limite turbulente et ses diﬀ´ erentes zones. Nous pr´ esentons le syst` eme d’´ equations k −ε. De mani` ere implicite, nous n’avons jusqu’` a pr´ esent parl´ e que d’”´ ecoulement laminaire” (Laminar Flow). Une d´ eﬁnition de l’´ Ecoulement Laminaire serait par exemple, dans le cas de l’´ ecoulement de Poiseuille (c.f. PC 3), de dire que le ﬂuide s’´ ecoule en ”lamelles” concentriques (c’est la d´ eﬁnition de Schlichting page 11), u ne d´ epend que de r, mais il s’agit plus d’une observation que d’une vraie d´ eﬁnition. Une d´ eﬁnition simplette serait alors de dire que l’on appelle solution laminaire toute solution des ´ equations de Navier Stokes stationnaires. Par extension, on peut introduire le temps ; une solution de Navier Stokes ins- tationnaire (avec le terme ∂/∂t) sera laminaire si elle ne varie pas trop vite en espace et en temps... Car c’est bien l` a une des caract´ eristiques visibles des ´ ecoulements turbulents : leurs variations brusques. Avant d’´ etudier les ´ ecoulements turbulents, que dans un premier temps nous d´ eﬁnirons comme ”rapidement” variables expliquons en deux mots comment un ´ ecoulement stationnaire est destabilis´ e puis comme il devient turbulent... Reprenons Landau & Lifshitz (1989) (§26) et citons le : il convient de re- marquer que ”tout probl` eme concernant l’´ ecoulement de ﬂuide visqueux dans des conditions stationnaires donn´ ees doit poss´ eder, ne serait ce qu’en principe, une solution stationnaire exacte des ´ equations de l’hydrodynamique” (ce qui n’est pas encore prouv´ e math´ ematiquement en 3D, c.f. le prix Clay). ”Or certaines de ces solutions mˆ eme si elles sont exactes, ne sont pas v´ eriﬁ´ ees dans la Nature” (N majuscule). ”Les ´ ecoulements” (sous entendu, laminaires) ”qui existent dans la Nature doivent ˆ etre stables : de petites perturbations qui y prennent naissance doivent s’att´ enuer au cours du temps.” 5.1. Notions de ”stabilit´ e hydrodynamique” Avant donc d’en venir ` a un ´ ecoulement paraissant totalement d´ esorganis´ e posons quelques notions de stabilit´ e. Partant d’un ´ ecoulement laminaire sta- tionnaire donn´ e, on construit des param` etres de contrˆ ole (qui sont en fait des nombres sans dimensions comme le nombre de Reynolds). Un exemple adapt´ e ` a la thermique est celui de ”Rayleigh B´ enard” (dont nous avons d´ ej` a parl´ e) : une certaine ´ epaisseur de ﬂuide au repos est chauﬀ´ ee ` a sa base et refroidie ` a la sur- face. La solution ”laminaire” (solution de ”base”) est la solution de conduction pure : la temp´ erature varie lin´ eairement, la vitesse est nulle ! ! ! Cependant, on observe l’apparition de rouleaux qui d´ etruisent cet ´ etat de base lorsque l’´ ecart de temp´ erature d´ epasse un certain seuil. C’est ce que l’on appelle la perte de stabilit´ e : les perturbations ne sont plus att´ enu´ ees et ont modiﬁ´ e l’´ ecoulement - 5.1- Transferts turbulents ce qui m` ene ` a une nouvelle solution. La premi` ere ´ etape consiste donc, apr` es avoir pos´ e les ´ equations (ici Navier Stokes avec approximation de Boussinesq), ` a adimensionner les ´ equations et trouver les param` etres de contrˆ ole : dans le cas de ”Rayleigh B´ enard” ce sera le nombre de Rayleigh qui vient naturellement : Ra = gα∆TL3 νκ . La m´ ethode consiste ` a rechercher de petites perturbations sous la forme : u = u0 + εU(y)eikx−iωt. C’est ce que l’on appelle la d´ ecomposition en modes propres. La forme exponen- tielle vient de l’invariance par translation du probl` eme de base de solution u0 (dans le cas de RB c’est 0). Les ´ equations sont lin´ earis´ ees autour de cette solu- tion de base u0, ε est un petit param` etre arbitraire qui ne sert qu’` a lin´ eariser. On cherche la relation de dispersion k(Ra) et ω(Ra), telle que U(y) puisse v´ eriﬁer les conditions aux limites. On discute ensuite, ` a k r´ eel ﬁx´ e le signe de la partie imaginaire de ω tel qu’il y ait ampliﬁcation en temps... Une fois que la valeur du param` etre critique a ´ et´ e obtenue (par une th´ eorie ou l’exp´ erience), il y a encore des zones d’ombre ! Au del` a du seuil, les perturba- tions sont ampliﬁ´ ees, et de mani` ere sch´ ematique (premi` eres ´ editions du Landau §27, depuis les r´ esultats portant sur les syst` emes dynamiques ont clariﬁ´ e cette intuition), on peut dire que de plus en plus de fr´ equences apparaissent, l’ordre de grandeur des distances sur lesquelles varie l’´ ecoulement devient de plus en plus petit. ”Pour R > Rc, le ﬂot devient de plus en plus compliqu´ e et on le d´ esigne sous le nom d’´ ecoulement turbulent pour le distinguer de l’´ ecoulement laminaire qui est r´ egulier dans ce sens que le ﬂuide s’´ ecoule pour ainsi dire par couches ayant des vitesses diﬀ´ erentes”. Le passage de l’´ etat laminaire ` a l’´ etat turbulent est ce que l’on appelle la ”transition”... Ce champ de recherche est une discipline ` a part enti` ere de la m´ ecanique des ﬂuides. Cette premi` ere ´ etape est en fait th´ eorique (diﬃcile ` a maˆ ıtriser, ou plutˆ ot ”contrˆ oler”). Il n’est pas rare que la transition turbulente soit impos´ ee (en met- tant, par exemple, une bande rugueuse sur la paroi d` es le bord d’attaque !), on est alors sˆ ur d’ˆ etre en r´ egime turbulent tout le long de l’aile (ce qui aug- mente le Cf, en revanche on y gagne car le d´ ecollement de la couche limite est plus diﬃcile) ; on a volontairement d´ egrad´ e le dispositif physique pour se placer dans une conﬁguration que l’on sait ` a peu pr` es calculer ! ! ! De toutes fa¸ cons les ´ ecoulements industriels sont en g´ en´ eral turbulents. Il faut dire un mot sur la diﬀ´ erence entre le Chaos et la Turbulence. Ici encore le mot Chaos n’a pas de d´ eﬁnition simple, si ce n’est qu’il est employ´ e pour les syst` emes dynamiques (qui ont un nombre ﬁni de degr´ es de libert´ e, en revanche NS a un nombre inﬁni de degr´ es de libert´ e). - 5.2- Transferts turbulents Au ﬁnal, une d´ eﬁnition pr´ ecise de la turbulence est donc diﬃcile ` a donner (Tennekes & Lumley (1978) page 1), on peut cependant faire un catalogue : -l’´ etat turbulent est caract´ eris´ e par des variations rapides irr´ eguli` eres et al´ eatoires de la vitesse -les m´ elanges sont importants et plus rapidement faits que par la diﬀusivit´ e ha- bituelle. -le nombre de Reynolds est grand -l’´ ecoulement est 3D, il est rotationnel. -l’´ energie est d´ egrad´ ee : les ´ ecoulements turbulents dissipent l’´ energie. -les ´ echelles mises en jeux ne sont pas celles des ´ echanges mol´ eculaire (le cadre de la m´ ecanique des milieux continus reste valable) -les caract´ eristiques sont les mˆ emes pour tous les ﬂuides (gaz ou liquides), la turbulence n’est pas une propri´ et´ e du ﬂuide mais seulement un r´ egime particu- lier. 5.2. Observations exp´ erimentales : Ci dessous, on observe (Encyclopaedia Britannica) des images instantan´ ees d’une couche limite turbulente (le proﬁl est obtenu par ´ emission de fum´ ee, les images sont des n´ egatifs) : elles sont tr` es chahut´ ees. Mais si on les superpose toutes, on obtient un proﬁl moyen. 5.3. ´ Equations de Reynolds 5.3.0. L’impossibilit´ e du calcul complet La puissance de calcul grandissante des ordinateurs nous laisse penser qu’il suﬃrait de r´ esoudre les ´ equations de Navier Stokes directement. Estimons donc ici l’ordre de grandeur du nombre de points ` a utiliser pour faire un calcul d’un ´ ecoulement 3D ` a la vitesse U0 autour d’un objet de taille L. L’id´ ee est d’imposer une ´ energie constante : U 2 0 /L qui sera constante ` a toutes les ´ echelles (conservation de l’´ energie) et dissip´ ee aux ´ echelles ultimes λ et u, telles que uλ/ν = 1. Donc l’´ energie constante U 2 0 /L = u2/λ, avec u = ν/λ, donc, par d´ eﬁnition du nombre de Reynolds Re = U0L/ν on obtient le rapport : (λ/L) = Re−3/4 qui est le rapport entre la plus petite ´ echelle et la plus grande pour capter les ph´ enom` enes turbulents. Le calcul 3D demande un nombre de mailles au moins ´ egal ` a (Re−3/4)−3. En l’an 2000, 10 106 points font un mois de temps de calcul uploads/s3/ c5turb-ensta.pdf