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ñ œ ñ ñ ñ MAT 2250 Introduction à la théorie des groupes Luc Bélair, François B

ñ œ ñ ñ ñ MAT 2250 Introduction à la théorie des groupes Luc Bélair, François Bergeron et Christophe Hohlweg 22 octobre 2018 Université du Québec à Montréal Département de mathématiques Case postale 8888, Succursale Centre-Ville Montréal (Québec) H3C 3P8 2 Table des matières Page Table des Figures 5 Avant-propos 6 1 Groupes 7 1.1 Lois de composition interne et monoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Sous-groupes engendrés par une partie d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Le groupe symétrique, le groupe diédral et autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6 Une application : le système de cryptographie RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2 Morphismes de groupes 57 2.1 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2 Morphismes particuliers et théorème de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3 Sous-groupes normaux et produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 Groupes quotients et théorèmes d’isomorphisme 81 3.1 Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2 Théorèmes d’isomorphisme et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Présentations (ﬁnies) de groupes par générateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4 Actions de groupes 101 4.1 Groupe opérant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2 Orbites et stabilisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3 4 TABLE DES MATIÈRES 4.3 Actions transitives et classes modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4 Formule de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5 Les p-groupes et théorèmes de Sylow 121 5.1 Les p-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2 Théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6 Groupes abéliens ﬁnis 129 6.1 Groupes abéliens primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2 Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3 Théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 A Rappels sur les ensembles et fonctions 137 A.1 Le langage ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 A.2 Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 A.3 Relations d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 A.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 B Autres exemples d’actions de groupes 149 B.1 Actions linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 B.2 Le groupe des isométries du cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 B.3 A5 comme groupe des rotations du dodécaèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 B.4 Espaces homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 B.5 Le groupe SL2pZq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ groupes-2018.pdf