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c ⃝2018 Mohammed EL BOUHAIRI : elbouchairi@gmail.com. Exercices 2BSM Limites et continuité Série 1 : Limites et continuité 2BAC sciences Mathématiques Exercice 1 : 1) Simpli er : 3−1 5 6 √ 25 5 p 2 √ 256 5−2 3 × 5 √ 81 2) Rendre le dénominateur des fractions suivantes rationnel : A = 1 3 √ 2 − 3 √ 5 B = 1 3 √ 49 −2 3 √ 7 + 4 3) Calculer : (2 + √ 2)3 et (2 − √ 2)3. En déduire que : 3 p 20 + 14 √ 2 + 3 p 20 −14 √ 2 = 4 4) Montrer que : (∀n ∈N) : E  3 p n(n + 1)(n + 2)  = n Exercice 2 : 1) Simpli er : arctan  tan 32π 5  et arctan  tan  −32π 5  2) Montrer que : a) arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π b) arctan 1 + arctan 1 2 + arctan 1 3 = π 2 c) 4 arctan 1 5 = π 4 + arctan 1 239 d) arctan 2 + arctan 5 + arctan 8 = 5π 4 e) arctan(2 √ 2) + 2 arctan √ 2 = π Exercice 3 : Montrer les propositions suivantes : 1) (∀x ∈R); arctan(x + 1) −arctan(x) = arctan  1 x2 + x + 1  2) (∀x ∈R); 2 arctan  x √ 1 + x2  = arctan 2x √ 1 + x2 3) (∀x ∈R); cos(arctan x) = 1 √ 1 + x2 4) (∀x ∈R); sin(arctan x) = x √ 1 + x2 Exercice 4 : Résoudre les inéquations et les équations suivantes : a) (3x + 2)3 = −54 b) 3 p (x + 1)2 − 3 p (x −1)2 = 3 √ x2 −1 c) 3 p x + √x − 3 p x −√x = 2 d) 3 √1 + x − 3 √1 −x = 6 √ 1 −x2 e) arctan(2x) + arctan x = π 4 f) (2x −1)4 > 81 g) 3 √ x2 + 7x ≥2 h) arctan √x + 2 < arctan(x + 1) Pr. Mohammed EL BOUCHAIRI 1 Lycée quali ant Anas Bno Malik c ⃝2018 Mohammed EL BOUHAIRI : elbouchairi@gmail.com. Exercices 2BSM Limites et continuité i) arctan(1 + x) + arctan(1 −x) = arctan  1 2x + 2  Exercice 5 : Soit n un entier naturel non nul. 1) a) Calculer : arctan(n + 1) −arctan(n). b) En déduire la somme n X k=0 arctan  1 1 + k + k2  . 2) Montrer que : n X k=1 arctan  2 k2  = arctan(n + 1) + arctan n −π 2 . Exercice 6 : Calculer les limites suivantes : 1) lim x→2 3 √ x2 + 4 −2 √x −1 −1 2) lim x→0 4 √ 2 − 4 √1 + cos x x2 3) lim x→1 √x −1 √x + 4 √x −2 4) lim x→+∞ 3 √x −√x −1 4 √x + 5 √x 5) lim x→+∞ 4 √ x3 4 √x − 4 √x + 3  6) lim x→−∞ 4 √ x4 −2x − √ 2x2 + 1 7) lim x→+∞ 3 √ x3 −2x − √ x2 + x 8) lim x→+∞ 12 √x 4 √x + 1 − 4 √x 3 √x + 1 − 3 √x 9) lim x→+∞E √x + 1 −√x  10) lim x→+∞E √x −√x + 1  11) lim x→1 arctan  x2 −1 x2 −3x + 2  12) lim x→−1 arctan(2x + 2) sin(x + 1) 13) lim x→+∞x arctan  1 2x + 1  14) lim x→+∞arctan √x + 2 − 4 p x −√x  15) lim x→−∞arctan  3 √ 1 −x3 √ x2 −1  Exercice 7 : Étudier suivant les paramètres m et n les limites suivantes : 1) lim x→a tan(x) −tan(m) x2 + mx −2m2 2) lim x→−∞ 3 √ 4 + x −x3 + mx 3) lim x→−∞ 3 √4 −x −m 3 √2 −x 4) lim x→−2 (x −n)(x −m) x + 2 5) lim x→1 n x2 −1 − m x −1 6) lim x→0 √1 + xn −√1 + xm xn ; (n; m) ∈Z2 7) lim x→m x>m √x −√m −√x −m √ x2 −m2 Exercice 8 : Soit f la fonction numérique dé nie sur I =] −1; +∞[ par f(x) = x √x + 1. Et soit (Cf) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O, − → i , − → j ). Pr. Mohammed EL BOUCHAIRI 2 Lycée quali ant Anas Bno Malik c ⃝2018 Mohammed EL BOUHAIRI : elbouchairi@gmail.com. Exercices 2BSM Limites et continuité 1) Dresser le tableau de variation de la fonction f. 2) Construire (Cf) dans un repère orthonormé. 3) Montrer que f est une fonction bijective de I dans un intervalle J à déterminer. 4) En déduire les limites de la fonction f −1 aux bords de J. puis dresser son tableau de variation. 5) Déterminer l'expression de f −1(x) pour tout x ∈J. 6) Résoudre l'équation : f −1(x) = f(x) Exercice 9 : Soit f la fonction numérique dé nie sur I = [−1; 0] par f(x) = x4 −2x2. 1) Montrer que f est une fonction bijective de I dans un intervalle J à déterminer. 2) Déterminer l'expression de f −1(x) pour tout x ∈J. 3) Montrer que : (∃!c ∈]0, 1[); 2c8 −4c2 = c −1 Exercice 10 : Soit f la fonction numérique dé nie sur R par f(x) = x3 + 3x. On pose g : x 7→ 3 r x 2 + 1 2 √ x2 + 1 − 3 r −x 2 + 1 2 √ x2 + 1 1) Montrer que f est une fonction bijective de R dans R. 2) Simpli er f ◦g(x) pour tout x de R. 3) En déduire l'expression de f −1(x) pour tout x ∈R. Exercice 11 : Soit f la fonction numérique dé nie sur I = h −π 4 ; π 4 i par f(x) = 4 p 1 + tan3(x) + 1. 1) Montrer que f est une fonction bijective de I dans un intervalle J à déterminer. 2) Déterminer l'expression de f −1(x) pour tout x ∈J. Exercice 12 : Soit f la fonction numérique dé nie par f(x) = arctan x −1 x −arctan x x + 1 Et soit (Cf) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O, − → i , − → j ). on prend ∥ ⃗ i∥= 2cm  1) Déterminer Df le domaine de dé nition de f. 2) Calculer les limites de f aux bords de Df. 3) a) Montrer que pour tout x de R −{−1; 0} : 1 −x x + 1 > 1 ⇔−1 < x < 0 b) Montrer que      f(x) = arctan −1 2x2 ; x < −1 ou x > 0 f(x) = π −arctan 1 2x2 ; −1 < x < 0 c) Dresser le tableau de variation de la fonction f. 4) Tracer la courbe Pr. Mohammed EL BOUCHAIRI 3 Lycée quali ant Anas Bno Malik c ⃝2018 Mohammed EL BOUHAIRI : elbouchairi@gmail.com. Exercices 2BSM Limites et continuité 5) Soit g la restriction de f sur I =] −1; 0[. a) Montrer que g est une bijection de I dans un intervalle J à déterminer. b) Déterminer l'expression de g−1(x) pour tout x ∈J. Exercice 13 : Soit f la fonction numérique dé nie par : f(x) = arctan √ 1 + x2 −x  Et soit (Cf) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O, − → i , − → j ). 1) Calculer les limites de f aux bords de Df. 2) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 3) En déduire que f est une bijection de I dans un intervalle J à déterminer. 4) a) Véri er que (∀x ∈R) √ 1 + x2 −x ≥1 ⇔x ≤0. b) Simpli er l'expression f(x) suivant les valeurs x de R. c) Déterminer l'expression de f −1(x) pour tout x ∈J. Exercice 14 : Soit f la fonction numérique dé nie par :    f(x) = √ x2 −1 −1 x ; x ̸= 0 f(0) = 0 Et soit (Cf) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O, − → i , − → j ). 1) Étudier la continuité f sur Df. 2) Étudier les variations de f. 3) soit g la fonction dé nie par g(x) = arctan f(x) a) Montrer que g est bijective de R dans un intervalle J à déterminer. b) Déterminer l'expression de g−1(x) pour tout x ∈J. 4) Simpli er : arctan √ x2 −1 −1 x  pour tout réel non nul x. Exercice 15 : Soit f la fonction numérique de variable réel x dé nie par uploads/s3/ serie-limite-continuite-2smf.pdf

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