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Le spin Didier Lauwaert. Copyright © 2013. I. Introduction II. Moment angulaire

Le spin Didier Lauwaert. Copyright © 2013. I. Introduction II. Moment angulaire II.1. Moment angulaire Moment angulaire orbital ; Moment angulaire intrinsèque ; Relations entre moments angulaires II.2. Charge électrique Charges électriques ; Champs électriques et magnétiques ; Charges électriques en mouvement II.3. Moment magnétique Boucle de courant ; Moment magnétique ; Particule en rotation ; Moment angulaire et magnétique III. La mécanique quantique Mécanique quantique ondulatoire ; Principe d’indétermination ; Description par les états ; Evolution et mesure IV. Expériences IV.1. Appareil de Stern-Gerlach Description ; Fonctionnement IV.2. Expériences avec des particules Essai avec des pions ; Essai avec des électrons ; Essai avec des mésons rho ; Différences avec le cas classique IV.3. Appareils en série Modification de l’appareil ; Deux appareils successifs ; Filtres ; Base d’états ; Etats superposés IV.4. Appareils et rotations Rotations de l’appareil T ; Rotation horizontale ; Rotation sur soi de 180° ; Rotation verticale de 180° ; Rotation sur soi de 90° ; Appareil S supplémentaire V. Le groupe des rotations V.1. Les rotations Rotations à deux dimensions ; Combinaison de deux rotations ; Groupe des rotations à deux dimensions ; Rotations à trois ; dimensions ; Représentations du groupe ; Sphère des rotations ; Représentation matricielle V.2. Effet sur une particule Action de groupe ; Particule scalaire ; Moment angulaire orbital ; Particule vectorielle ; Un groupe, plusieurs actions V.3. Algèbre des rotations Rotations infinitésimales ; Cas vectoriel ; Algèbre des générateurs ; Deux solutions V.4. Représentations Calcul des représentations ; Valeurs propres ; Moment angulaire intrinsèque ; Lien avec Stern-Gerlach VI. Le spin 1/2 Représentations ; Existence ; Spineurs ; Rotations ; Effet du signe VII. Statistiques VII.1. Etats symétriques et antisymétriques Etats à deux particules ; Particules identiques ; Etats symétriques ; Etats antisymétriques VII.2. Statistique de Fermi-Dirac Principe d’exclusion de Pauli ; Comportement statistique ; Statistique classique ; Statistique de Fermi-Dirac ; Conséquences VII.3. Structure de l’atome Structure de l’atome ; Changements d’états ; Répartition des électrons ; Propriétés ; Effet Zeeman VII.4. Statistique de Bose-Einstein Etats symétriques ; Comportement grégaire ; Emission stimulée VIII. Théorème spin – statistique IX. Etats intriqués Combinaisons d’états de deux particules ; Etats intriqués ; Spin ; Décohérence X. Références I. Introduction Le spin est une propriété assez particulière des particules élémentaires. Elle est liée aux rotations, comme la rotation d’une toupie. Cette propriété très importante se retrouve partout en physique des particules. Malheureusement, c’est aussi une propriété très difficile à expliquer aux profanes. Bien que les notions classiques de rotation soient aisément abordables, leurs contreparties en mécanique quantique, la science du monde de l’infiniment petit, sont subtiles et contre-intuitives. Certains aspects comme ceux du spin ½ n’ont même aucune contrepartie dans la vie de tous les jours et sont donc particulièrement difficile à conceptualiser. C’est à ce défi que nous avons décidé de nous attaquer. Nous aborderons le problème en deux phases. Tout d’abord une approche expérimentale : comment se comportent les particules du point de vue du spin. Ensuite une approche plus abstraite. Malgré cette approche abstraite, nous essayerons de ne pas employer de développements mathématiques si ce n’est quelles relations élémentaires (additions, soustractions,…) et des notations, que nous expliquerons, qui ont surtout pour but de rendre les choses plus claires. II. Moment angulaire II.1. Moment angulaire Moment angulaire orbital Considérons une petite masse tournant sur une orbite. Soit m la valeur de la masse et V sa vitesse. R le rayon de l’orbite. On définit le moment angulaire, caractérisant cette rotation par le simple produit : L = mVR La masse fois la vitesse fois le rayon. Le moment angulaire a une direction, ce qu’on traduit en notant sa variable en gras, indiqué par la flèche verticale sur le dessin. Comme la masse tourne sur une petite orbite, on parle de moment angulaire orbital. Moment angulaire intrinsèque Au lieu d’une petite masse sur une orbite, considérons maintenant une grosse boule tournant sur elle-même comme une toupie. On peut définir la aussi un moment angulaire, comme ci-dessus. On considère chaque petit morceau de la boule comme s’il tournant sur une orbite et on fait la somme sur tous les morceaux de la boule. Le calcul est évidemment plus compliqué et nous ne le ferons pas ici. Cela donne un moment angulaire S comme indiqué sur le dessin. C’est encore une grandeur comme mVR, mais affectée d’un facteur qui dépend de la forme de l’objet. Puisque la boule tourne sur elle-même, on parle de rotation propre et le moment angulaire est appelé moment angulaire intrinsèque. Les noms des variables utilisées viennent de l’anglais (L pour « loop », qui signifie « boucle » et S pour « spin » qui signifie « tourner sur soi-même »). Relations entre moments angulaires Lorsque l’on a un système compliqué, avec plein de parties tournant sur elles-mêmes ou sur des boucles, on peut faire le calcul pour chaque partie et ajouter les moments angulaires. Ceux-ci s’ajoutent comme des vecteurs c’est-à-dire comme des grandeurs identifiées par des flèches, la relation est plutôt élémentaire : Notons que le moment angulaire est une grandeur conservée. C’est-à-dire qu’elle reste identique à elle-même dans l’évolution du système, du moins si le système est isolé (il est clair que si on lance une toupie, avant elle ne tourne pas, après elle tourne). Mais attention, c’est le moment angulaire total qui est conservé, c’est-à-dire L + S (éventuellement une forme plus compliquée si on a pleins d’objets en rotation). Cette loi physique très simple est utilisée intuitivement par les patineurs artistiques. Ils se lancent sur la glace de manière à entrer en rotation avec les bras écartés. Puis ils rapprochent les bras de leur corps, ce qui accélère fortement leur rotation. En effet, le moment angulaire du patineur est de la forme mVR et cette grandeur est conservée tant que le frottement du patin sur la glace de freine pas le patineur. En rapprochant les bras, le patineur diminue la grandeur R du cercle balayée par ses bras. Si R diminue et comme mVR est constant (ainsi que m, son poids ne change pas), alors V augmente. Tant que l’on reste en physique classique, tout cela est fort simple (seuls les calculs peuvent être un peu compliqués comme pour le calcul du moment angulaire d’une boule). II.2. Charge électrique Nous allons avoir besoin de quelques explications sur les charges électriques et les champs associés, mais pas beaucoup, juste parce que le magnétisme sera utile pour étudier le spin. Nous ferons donc cours en présentant seulement ce qui est nécessaire. Charges électriques On trouve dans la nature des objets chargés électriquement ainsi que des aimants. Les charges électriques peuvent se classer en charges négatives et en charges positives. Les aimants possèdent un pôle nord et un pôle sud. L’existence des charges électriques se constate facilement à travers l’électricité statique, les décharges électriques ou le courant électrique. Certaines charges sont négatives, comme les électrons qui sont de petites particules très légères que l’on trouve dans les atomes et qui constituent le courant électrique. D’autres charges sont positives, comme le noyau des atomes ou les protons qui constituent ces noyaux (particules mille fois plus lourdes que l’électron). Les atomes sont neutres, c’est-à-dire que les charges électriques et négatives se composent. Lorsque l’on arrache des électrons par un procédé mécanique (frottement, triboélectricité) ou chimique (piles électriques), on obtient un flux de charges négatives. Ce qui reste est donc de charge positive puisque l’on a enlevé les électrons et qu’il ne reste que les noyaux chargés positivement (un atome avec trop ou trop peu d’électrons est appelé un ion). On constate facilement que les charges électriques de même signe ainsi que les pôles de même nature se repoussent, tandis que ceux de signes opposés s’attirent. Un flux de charges électriques, habituellement des électrons, constitue un courant électrique. Champs électriques et magnétiques Ce phénomène d’attraction et répulsion se transmet par l’intermédiaire d’un champ, c’est-à-dire une grandeur prenant des valeurs en tout point de l’espace et pouvant varier autant dans l’espace que le temps. Les charges électriques sont la source du champ électrique et les aimants sont la source d’un champ magnétique. On peut aisément visualiser ces champs avec, par exemple, de la limaille de fer. Ces champs sont caractérisés par une intensité, en chaque point, mais aussi par une direction. Ce qu’on peut représenter par une flèche (un vecteur). A titre d’exemple, voici les champs électriques émis par des charges électriques : Les charges électriques sont également sensibles aux champs électriques, ce qui explique les propriétés d’attraction et de répulsion. Voici par exemple les champs électriques lorsque l’on a deux charges : Et voici le champ magnétique émit par un aimant : Charges électriques en mouvement Considérons des charges électriques en mouvement, c’est-à-dire un courant électrique. On constate que ces charges en mouvement créent aussi un champ magnétique (comme un aimant). Les deux phénomènes sont donc intimement liés. Le champ magnétique forme des lignes circulaires entourant le courant (par exemple un fil électrique). II.3. Moment magnétique Boucle uploads/s3/ le-spin-pdf.pdf