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Promotion 2006 Année 1 Tronc commun MAP311 Aléatoire Édition 2007 Sylvie Méléar

Promotion 2006 Année 1 Tronc commun MAP311 Aléatoire Édition 2007 Sylvie Méléard Table des matières 1 Introduction 5 1.1 Introduction du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Avant-Propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Phénomènes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Deux idées majeures et incontournables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Conditionnement et Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Les variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.1 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.2 Simulation de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Espace de probabilité 15 2.1 Le langage des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Expériences et événements aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Probabilité - Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Probabilité sur un espace ﬁni - Calcul combinatoire . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Probabilité Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3 Modèles d’urnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Déﬁnition générale des Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Pourquoi la déﬁnition précédente ne suﬃt-elle pas ? . . . . . . . . . 27 2.3.2 Les ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.4 Déﬁnition d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.5 Probabilités sur un espace dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 2 TABLE DES MATIÈRES 2.3.6 Variable aléatoire et sa loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.3 Le Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Espace ﬁni ou dénombrable 45 3.1 Prérequis : quelques résultats utiles sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Espérance des variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.2 Propriétés de l’espérance des variables aléatoires discrètes . . . . . . 49 3.3.3 Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.4 Un résultat fondamental - Moments d’une variable aléatoire . . . . 52 3.4 Fonction génératrice d’une variable aléatoire à valeurs entières . . . . . . . 53 3.5 Variables aléatoires discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5.1 Variable aléatoire de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5.2 Variable aléatoire binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5.3 Probabilité de succès et variable aléatoire géométrique . . . . . . . 57 3.5.4 Variable aléatoire de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6 Lois conditionnelles et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.6.1 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.6.2 Propriétés de l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6.3 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6.4 Somme de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . 66 4 Variables aléatoires réelles et Vecteurs aléatoires 69 4.1 Les variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Les lois de variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2.2 Variables aléatoires de loi à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.3 Variable aléatoire uniforme sur [0, 1] et générateurs de nombres aléa- toires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ probabilites-et-simulation-aleatoire.pdf