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Variable aléatoire discrète Exemples des variables aléatoires discrètes : École

Variable aléatoire discrète Exemples des variables aléatoires discrètes : École Supérieure d’Informatique, SBA 2ième année CP 30 Novembre / 07 Décembre 2017 Benchikh Tawﬁk Probabilité Plan de cours 1 Variables certaine- Loi uniforme 2 Les Lois du tirage avec remise Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi multinomiale Temps d’attente: Loi géométrique Temps d’attente: Loi de Pascal Nombre d’échecs: Loi Binomiale négative 3 Lois du tirage sans remise Loi hypergéométrique Temps d’attente dans le tirage sans remise 4 Loi de Poisson 5 Approximation des lois Binômiales 6 Exercices Benchikh Tawﬁk Probabilité Variables certaine- Loi uniforme Les Lois du tirage avec remise Lois du tirage sans remise Loi de Poisson Approximation des lois Binômiales Exercices Variables certaine On appelle variable certain une v.a.r. constante: ∃a ∈R/X(Ω) = {a}. Par conséquent: Pr(X = a) = 1, I E(X) = a, V(X) = 0. Soit X une v.a.r. tel que V(X) = 0. Alors X est une variable certaine, ou quasi-certaine (i.e., si X prend plusieurs valeurs, elle prend l’une d’elle avec la probabilité 1 et les autres avec la probabilité nulle). Benchikh Tawﬁk Probabilité Variables certaine- Loi uniforme Les Lois du tirage avec remise Lois du tirage sans remise Loi de Poisson Approximation des lois Binômiales Exercices Loi uniforme: Déﬁnition On dit qu’une v.a.r. suit une loi uniforme discrète sur [1, n], si l’on a: X(Ω) = [1, n] et ∀k ∈[1, n]: Pr(X = k) = 1 n. On écrit X ⇝Un. Benchikh Tawﬁk Probabilité Loi uniforme: Calcule des paramètres: I E(X) = n X k=1 k Pr(X = k) = n X k=1 k1 n = 1 n n X k=1 k = 1 n n(n + 1) 2 = n + 1 2 . I E(X2) = n X k=1 k2 Pr(X = k) = n X k=1 k21 n = 1 n n X k=1 k2 = 1 n n(n+1)(2n+1) 6 = (n+1)(2n+1) 6 . V(X) = I E(X2) −(I E(X))2 = n2−1 12 . Loi uniforme: Domaine d’utilisation La loi de probabilité uniforme intervient dans de nombreux domaines comme: les jeux de pile ou face ou les jeux de dés (avec une pièce ou un dé parfaitement équilibré(e)), les jeux de cartes, les loteries, les sondages, ect. Variables certaine- Loi uniforme Les Lois du tirage avec remise Lois du tirage sans remise Loi de Poisson Approximation des lois Binômiales Exercices Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi multinomiale Temps d’attente: Loi géométrique Temps d’attente: Loi de Pascal Nombre d’échecs: Loi Binomiale négative Loi de Bernoulli: Déﬁnition On dit qu’une v.a.r. est une variable de Bernoulli si elle ne prend que les 2 valeurs 0 et 1 non nulles. Notation: On note loi de X: Pr(X = 1) = p ; Pr(X = 0) = q = 1 −p , p ∈]0, 1[ et on écrit: X ⇝B(1, p). Benchikh Tawﬁk Probabilité Loi de Bernoulli: le modèle Le modèle probabiliste est donné par le lancer d’une pièce où la probabilité d’amener "pile" est p ∈]0, 1[, pile=succés. Une v.a. de Bernoulli illustre plus généralement tout expérence aléaoire n’ayant que 2 issues possibles et effectue 1 fois. Loi de Bernoulli: Les paramètres I E(X) = 0 × q + 1 × p = p. V(X) = (0 −p)2 × (1 −p) + (1 −p)2 × p = p × q. Loi de Bernoulli: Exemple Soit A un événement d’un espace de probabilité (Ω, A, Pr). On appelle v.a.r. indicatrice de l’événement A, l’application: ΦA = 1 1A : Ω− →R , déﬁnie par: ∀ω ∈A; ΦA(ω) = 1 et ∀ω ∈A; ΦA(ω) = 0. ΦA est une varaible de Bernoulli (sauf si A est quasi-impossible ou quasi-certain) et on a: (ΦA = 1) = A d’ou I E(ΦA) = Pr(A). Loi de Bernoulli: Exercice Soit k ∈N, calculer le moment et le moment centré d’ordre k d’une v.a.r. de Bernoulli. Variables certaine- Loi uniforme Les Lois du tirage avec remise Lois du tirage sans remise Loi de Poisson Approximation des lois Binômiales Exercices Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi multinomiale Temps d’attente: Loi géométrique Temps d’attente: Loi de Pascal Nombre d’échecs: Loi Binomiale négative Loi Binomiale: le modèle On considère une urne contenant 2 catégories de boules, des boules blanches en proportion p et des boules non blanches en proportion q = 1 −p. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à tirer n boules avec remise de cette urne. On appelle X le nombre aléatoire de nombre de boules blanches obtenus au cours de ce tirage de n boules. Ce modèle servira plus généralement lorsque l’on s’interessera au nombre de succés obtenus lors d’une succession de n essais indépendants, le succés avec probabilité p et l’échec avec q = 1 −p. On voit que X(Ω) = [0, n]. Benchikh Tawﬁk Probabilité Loi Binomiale: Déﬁnition On dit qu’une v.a.r. X suit une loi Binomiale de paramètre n et p si l’on a: X(Ω) = [0, n], et ∀k ∈[0, n]: Pr(X = k) = Ck npk(1 −p)n−k. On écrit: X ⇝B(n, p). ⋄Vériﬁant qu’il s’agit d’une loi de probabilité: n X k=0 Pr(X = k) = n X k=0 Ck npk(1 −p)n−k = (p + q)n = 1 . Loi Binomiale: ramarques Une v.a.r. de Bernoulli est une variable Binomiale B(1, p). Toute variable Binomiale X ⇝B(n, p) est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes X1, . . . , Xn ⇝B(1, p): X = n X i=1 Xi ; Xi ⇝B(1, p) . Loi Binomiale: caractéristiques Soit X ⇝B(n, p), alors: I E(X) = n × p. (Utiliser le lemme suivant: soit k ∈N∗et n ∈N, tel que: k ≤n. On a: kCk n = nCk−1 n−1). V(X) = n × p × q (utiliser V(X) = I E(X2) −I E(X)2 où Var(Pn i=1 X) où Xi ⇝B(1, p) indépendantes). Loi Binomiale: Exemple 1 On jette 6 fois une pièce de monnaie bien équilibrée, on suppose que face est un succès. On a donc: p = 1 2, n = 6. a) I Pr(on ait exactement 2 faces) = I Pr(X = 2) = C2 6( 1 2)2( 1 2)4 = 15 64. b) I Pr(d’avoir au moins 4 faces) = I Pr(X ≥4) = I Pr(X = 4) + I Pr(X = 5) + I Pr(X = 6) = C4 6( 1 2)4( 1 2)2 + C5 6( 1 2)5( 1 2)1 + C6 6( 1 2)6 = 15 64 + 6 64 + 1 64 = 11 32 . Loi Binomiale: Exemple 2 Un examen consiste à répondre à 4 questions à coté des quelles on trouve cinq réponses possibles: parmi les réponses, une seule est correcte. Pour réussir l’examen, il faut répondre correctement à trois questions au moins. Quelle est la probabilité pour qu’un étudiant n’ayant pas préparé son examen réussisse? Loi Binomiale: Exemple 2 Si l’étudiant n’a pas préparé son examen, il devra choisir les réponses "au hasard", c’est-à-dire que toutes les réponses ont la même probabilité d’être choisir, en particulier la réponse correcte, il s’en suit que p = 1 5 pour cet étudiant là. Pour chaque étudiant l’examen peut être assimilé à loi de Bernoulli où le succès est la réponse juste. X ⇝B(n, p) = B(4, 1 5). (X: nombre des réponses juste). L ’événement "réussir l’examen" peut être décrit par: "(X = 3) ou (X = 4)"="(X ≥3)", et I Pr(X ≥3) = 0.0272. Loi Binomiale: Exemple 3 On veut réaliser une étude clinique sur des malades se présentant à une consultation hospitalière. Pour cette étude, seuls les malades répondant à un ensemble de critères C sont retenus. Des statistiques antérieures ont montré que 20% des consultants présentent les critères C. 10 malades viennent consulter le premier jour. Soit X la variable aléatoire "nombre de malades retenus", c’est-à-dire répondant à l’ensemble des critères C. La variable X suit la loi binomiale B(10, 0.2). Loi Binomiale: Exemple 3 La probabilité qu’aucun malade ne soit recruté ce jour est égale à: Pr(X = 0) = C0 10(0.2)0(0, 80)10 = 0, 107 . La probabilité pour qu’il y ait au moins un malade recruté est égale à : Pr(X ≥1) = 1 −Pr(X ≤0) = 1 −0.107 = 0.803 . Loi Binomiale: Exercice Quelle est la probabilité de trouver x = 0, 1, 2 ou 3 ﬁlles dans des familles de n = 3 enfants. Loi Binomiale: Stabilité de la loi binomiale Soit X et Y deux variables indépendentes suivant des lois binomiales respectivement X ⇝B(n, p) et Y ⇝B(m, p). Alors X + Y ⇝B(n + m, p). Variables certaine- Loi uniforme Les Lois du tirage avec remise Lois du tirage sans remise Loi de Poisson Approximation des lois Binômiales Exercices Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi multinomiale Temps d’attente: Loi géométrique Temps d’attente: Loi de Pascal Nombre d’échecs: Loi Binomiale négative Le modèle: La loi multinomiale est une généralisation de la loi binomiale. Une population P est composée d’individus appartenant à k types différents, dans des proportions p1, p2, . . ., pk telles que k X i=1 pi = 1 . On uploads/s3/ vade-probabilites.pdf