Exercice 1 Une urne A contient une boule rouge et trois vertes. Une urne B cont

Exercice 1 Une urne A contient une boule rouge et trois vertes. Une urne B contient deux boules rouges et deux noires. Les boules sont indiscernables au toucher. 1. On dispose d'un dé à six face, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. On le lance une fois; si l'on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l'urne A, sinon on tire au hasard une boule de l'urne B. a. Calculer la probabilité d'obtenir une boule noir. b. Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir ? c. Quelle est la probabilité que la boule tirée provienne de l'urne B sachant qu'elle est rouge ? 2. On réunit toutes les boules dans une urne et on tire successivement trois boules de l ' urne que l'on pose chaque fois devant l ' urne. a. Montrer que la probabilité de l'évènement "la 3ème boule tirée est noire" vaut 1 4 . b. Certain pensent que l'évènement "la 1ere boule tirée est noire"a une probabilité supérieure à l'évènement "la 3ème boule tirée est noire". Est-ce vrai ? Justifier. 1/9 ________________________________________________________________________________________________ Mr ABIDI Farid 4 Année (toutes sections) Exercices de probabilités L. Ibn Khamdoun - Radès Exercice 2 - Une entreprise fabrique des moteurs électriques. Afin de vérifier la conformité des moteurs on procède à deux tests : l’un de type mécanique, l’autre de type électrique. Un moteur est rejeté s’il possède au moins l’un des deux types de défaut. Un moteur est déclaré en parfait état de marche s’il ne possède aucun des deux types de défaut. Une étude statistique de la production conduit à dégager les résultats suivants : - la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour le test mécanique est 0,08 ; - la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour le test électrique est 0,05 ; - la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour les deux tests est 0,02. On prélève au hasard un moteur dans la production . On appelle : DM l’événement « Le moteur prélevé présente un défaut de type mécanique », DE l’événement « Le moteur prélevé présente un défaut de type électrique » . 1. a) Les évènements DM et DE sont-ils indépendants ? b) Calculer la probabilité de l’événement DM sachant que l’événement DE est réalisé. 2. a) Calculer la probabilité de l’évènement A : « Le moteur prélevé présente au moins un défaut » . b) Démontrer que la probabilité de l’événement B : « Le moteur prélevé est en parfait état de marche » est 0,89. c) Déterminer la probabilité de l’événement C : « Le moteur prélevé présente un seul défaut ». 3. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de types de défaut (électrique ou mécanique) présentés par le moteur. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Déterminer la loi de probabilité de X. c) Calculer l’espérance mathématique E(X) . d) Calculer la variance V(X) et en déduire l’écart type de X. On donnera les résultats à 10-2 près. 4. On prélève 12 moteurs au hasard dans la production (on assimile cette épreuve à un tirage de 12 pièces successivement avec remise). Calculer la probabilité de l’événement : « Il y a au moins un moteur défectueux parmi les 12 moteurs prélevés » . ________________________________________________________________________________________________ Mr ABIDI Farid 4 Année (toutes sections) Exercices de probabilités 2/9 L. Ibn Khamdoun - Radès Exercice no 3 • Pour chaque question, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. • Pour chaque question, * soit il connaît la réponse et il répond de façon exacte, * soit il ne la connaît pas et il répond au hasard ; il a alors une chance sur trois que sa réponse soit exacte. • On= suppose= que= la> probabilité> que$ le> candidat= connaisse< la> réponse= à= une= question= donnée= est= d’une chance sur deux. On note : • C< l’événement" «= le= candidat> connaît> la= réponse= »; • E l’événement « la réponse est exacte ». 1/ le< candidat= répond= à> une> question= deW l’exercice. a/ Construire un arbre pondéré décrivant la situation (cet arbre partira de la première alternative : il connaît ou non la réponse à la question). b/ Démontrer que : p(E) = 2 3. c/ Calculer< la< probabilité= que< le# candidat= connaisse= la= réponse= à= la= question< sachant= que= sa# réponse est exacte. 2/ L’exercice posé à cet examen est composé de trois questions indépendantes. Il est noté sur 3 points. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0. Soit X la= note> obtenue= par= le> candidat= à# cet exercice. a/ Dessiner un arbre modélisant cette situation probabiliste. b/ Donner la loi de probabilité de X ; les résultats seront donnés sous forme de fractions. c/ Quelle< est= lak probabiliték quek lek candidat= obtienne< au= moins= 1,5= point< à< cet= exercice< ? d/ Quelle< note,= arrondie= au= centième,= le= candidat= peut-il= espérer= à= cet= exercice< ? Lorsd’un= examen,= un= candidat< doit= répondre= à= un= exercice= avec= des= questions< à= choix> multiples. ________________________________________________________________________________________________ Mr ABIDI Farid 4 Année (toutes sections) Exercices de probabilités 3/ 9 L. Ibn Khamdoun - Radès                                                            ! "  #        $  # %               &"' &$'   (    # )*"∪$+  &)'      ,  # -        &)'  &-'   .     #   # /   # 0  #     #   #      ! ###        1     2!       3                       Exercice no 4 ________________________________________________________________________________________________ Mr ABIDI Farid 4 Année (toutes sections) Exercices de probabilités / 9 L. Ibn Khamdoun - Radès 4 Exercice 1 L'urne A contient une boule rouge et trois vertes. Si on tire au hasard, équiprobabilité, une boule de A alors la probabilité d'obtenir une rouge est p AR=1 4 et la probabilité d'obtenir une verte est p AV =3 4 L'urne B contient deux boules rouges et deux noires. Si on tire au hasard, équiprobabilité, une boule de B alors la probabilité d'obtenir une rouge est pBR=1 2 et la probabilité d'obtenir une noire est p AN = 1 2 1. On dispose d'un dé à six face, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. On le lance une fois; si l'on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l'urne A donc la probabilité de tirer une boule de l'urne A est pA= 1 3 . Sinon on tire au hasard une boule de l'urne B donc la probabilité de tirer une boule de l'urne B est pB= 2 3 . On obtient l'arbre de probabilité suivant : p AR= 1 4 R pA= 1 3 A P AV = 3 4 V p BR= 1 2 R pB=2 3 B p BN =1 2 N a. D'après l'arbre, la probabilité d'obtenir une boule noire est : pN = pBN pB=1 3 b. La probabilité d'obtenir une boule rouge est : pR= pARpApBRpB= 1 121 3= 5 12 ________________________________________________________________________________________________ Mr ABIDI Farid 4 Année (toutes sections) Exercices de probabilités /9 L. Ibn Khamdoun - Radès 5 La probabilité d'obtenir une boule verte est : pV = pAV pA=1 4 Le rouge a la plus grande probabilité de sortir. c. PRB= pR∩B pR =1 3× 12 5 =4 5 La probabilité que la boule tirée provienne de l'urne B sachant qu'elle est rouge 4 5 2. On réunit toutes les boules dans une urne donc elle contient 3 rouges, 3 vertes et 2 noires. On tire successivement trois boules de l'urne que l'on pose chaque fois devant l'urne donc l'ordre compte et il n'y a pas de répétition, une issue est un arrangement de 3 parmi 8. Il y a A8 3 isssues possibles. La loi est uniforme donc on applique la formule : pE=nombre de cas favorables nombrede cas possibles a. Soit l'évènement, E3, "la 3ème boule tirée est noire", il y a deux cas, la noire numéro 1 ou la numéro 2, puis il faut choisir les deux premières parmi les 7 restantes, il y a A7 2 arrangements. Donc 2 A7 2 cas favorables. La uploads/s3/ 4-serie-loi-probas-cor-af08.pdf

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