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Cours de Mr JULES v2.8 Classe de Sixième Contrat 9 Page 1 sur 15 NOM et Prénom

Cours de Mr JULES v2.8 Classe de Sixième Contrat 9 Page 1 sur 15 NOM et Prénom : ………………………………………………. 6ème …… SOLIDES ET VOLUMES : LE CUBE ET LE PAVE « La vie n'est bonne qu'à deux choses : découvrir les Mathématiques et enseigner les Mathématiques. » Siméon Denis Poisson1 I. Solides : Observation et Description. ___________________________________________________2 II. Représentation en perspective cavalière. ________________________________________________4 III. Patron du pavé droit. ______________________________________________________________6 IV. D’autres patrons de solides. ________________________________________________________8 V. Longueur des arêtes et Aire des faces. _________________________________________________10 VI. Volume d’un solide. ______________________________________________________________11 VII. Volumes du cube et du pavé. _______________________________________________________13 VIII. Pour préparer le test et le contrôle. ________________________________________________15 ➢ Pré-requis pour prendre un bon départ :   ☺ ☺☺ Surfaces : définition, unités. Utilisation d’un tableau de conversion. Périmètre des figures de base (carré, rectangle…). Aires des figures de base (carré, rectangle …). Calcul de périmètres et aires de figures complexes : méthode par addition. Calcul de périmètres et aires de figures complexes : méthode par soustraction. 1 Siméon Denis Poisson (1781-1840) : Grand mathématicien, géomètre et physicien français. Cours de Mr JULES v2.8 Classe de Sixième Contrat 9 Page 2 sur 15 I. SOLIDES : OBSERVATION ET DESCRIPTION. Définitions : • Un solide, au sens géométrique, est un objet délimité par des surfaces indéformables.  Les surfaces d’un solide délimitent l’intérieur et l’extérieur du solide. • Ces surfaces, quand elles sont planes, s’appellent des faces. Remarque : Beaucoup de solides n'ont pas de surfaces planes : la plus évidente est la boule (ou sphère). En 6ème, l'étude porte sur les solides à surfaces planes les plus simples : o le pavé (aussi appelé parallélépipède rectangle, ou brique), o et un de ses cas particuliers : le cube (le cube fait donc partie de la famille des pavés). En 5ème, on étudiera le prisme et le cylindre. En 4ème, la pyramide et le cône. En 3ème, la sphère. A. Le Parallélépipède2 rectangle ou Pavé ou Brique : Un pavé pourrait être considéré intuitivement comme un empilement de rectangles tous identiques. C'est ce qui se passe par exemple pour un paquet de feuilles : chaque feuille est un rectangle et c'est la « grande » quantité de feuilles correctement empilées qui fait apparaître un solide en forme de pavé. B. Vocabulaire et figure : 1. Un pavé est délimité par ses faces qui sont des ……………….…..…………… superposables 2 à 2. On compte …... faces rectangulaires qui s’appellent : la face de devant, la face de …………………… …………………………………………………………………………………………………………… 2. Les faces se rejoignent en des segments appelés ………………….. Un pavé a ……. arêtes qui sont les côtés (les intersections) des faces. Les arêtes sont appelées plus couramment les bords. 3. Les arêtes se rejoignent en des points appelés …………………….. On compte …… sommets qui sont les extrémités (les intersections) des arêtes. Les sommets sont appelés plus couramment les coins. Nommer les 6 faces de ce pavé. 2 Etymologie : le mot parallélépipède est composé de « parallèle » et de « epepidon » qui veut dire surface en grec. face Gauche face de Dessus face de Dessous face de Derrière …………………… ………………….. face Droite face de Devant Cours de Mr JULES v2.8 Classe de Sixième Contrat 9 Page 3 sur 15 Dans la suite du cours, les 3 dimensions d’un pavé seront appelées communément : la longueur (ou largeur), la profondeur et la hauteur. ➢ Exercice 1 : La figure ci-contre représente un parallélépipède rectangle. 1. Nommer la face de dessous : …………….. 2. Nommer la face de derrière : …………….. 3. Nommer toutes les faces contenant l'arête [AB] : …………………………….. 4. Nommer l’arête commune aux faces du dessus et de derrière : ………….. 5. Nommer toutes les arêtes contenant le sommet C : …………………………… 6. Nommer toutes les arêtes parallèles à [BH] : ……………………………. 7. Nommer 4 arêtes de même longueur : ……………………………………. ➢ Exercice 2 : Pour chacun des solides suivants, donner le nombre de faces, d’arêtes et de sommets. Pour ces exercices, il faut avoir une bonne méthode de comptage : par exemple du haut vers le bas. 1. Pour la pyramide à base quadrilatère : Nombre de sommets = Nombre d’arêtes = Nombre de faces = 2. Pour le prisme à base trapézoïdale : Nombre de sommets = Nombre d’arêtes = Nombre de faces = 3. Pour le prisme à base hexagonale : Nombre de sommets = Nombre d’arêtes = Nombre de faces = 4. Et pour un prisme ayant pour base un polygone à 10 côtés ? Hein ? Nombre de sommets = Nombre d’arêtes = Nombre de faces = 5. Et pour un prisme ayant pour base un polygone à 120 côtés ? Nombre de sommets = Nombre d’arêtes = Nombre de faces = 6. Pour cette maison : Nombre de sommets = Nombre d’arêtes = Nombre de faces = D A B C G H F E Cours de Mr JULES v2.8 Classe de Sixième Contrat 9 Page 4 sur 15   II. REPRESENTATION EN PERSPECTIVE CAVALIERE. Lorsqu’on dessine, on est confronté au problème suivant : représenter dans un espace plat en 2 dimensions (la feuille, le cahier), un objet qui lui est en 3 dimensions dans la réalité ! Même problème pour la Télévision en 3D ou pour la cartographie. On veut par exemple représenter le pavé ci-contre. Certaines conventions (règles) sont à respecter pour que le dessin soit compris par tous.  La face avant est représentée non déformée en premier par un rectangle.  Parmi les arêtes des autres faces, 3 semblent fuir vers l'arrière, en oblique. On les dessine en 2ème, parallèles et de même longueur. Mais pour bien simuler la profondeur, on va réduire un peu ces longueurs (d'un tiers par exemple).  Les 2 arêtes visibles de la face arrière sont dessinées en traits pleins ensuite.  Enfin les arêtes cachées sont dessinées en traits pointillés. La face arrière apparaît alors comme un rectangle superposable à la face de devant. Ce type de dessin porte le nom de perspective cavalière. Conventions de la perspective cavalière3.  Les segments parallèles et de même longueur dans la réalité restent parallèles et de même longueur sur un dessin en perspective.  Les angles ne sont pas toujours respectés dans un dessin en perspective (ils le sont seulement sur les faces avant et arrière). Remarque : Il existe d’autres perspectives ! Par exemple celle que l'on peut voir sur une photographie. En effet sur une photo, les droites parallèles fuyant vers le "fond" de la photo semblent se rapprocher l’une de l’autre (par exemple les rails parallèles d'une ligne de chemin de fer). C’est la perspective fuyante. 3 Perspective cavalière : de l'italien cavalliere, qui va à cheval. L'origine de cette expression est militaire, et on a dit aussi "perspective militaire" ; il s'agit d'une perspective utilisée dans le dessin d'architecture militaire pour représenter des fortifications. Un cavalier est une fortification en terre en arrière d'autres constructions et surélevée. La vue cavalière est alors la vue qu'a un observateur situé sur le haut du cavalier sur ces constructions plus basses et les alentours. La perspective cavalière est le procédé utilisé par le dessinateur de fortifications pour rendre la vue cavalière.        Cours de Mr JULES v2.8 Classe de Sixième Contrat 9 Page 5 sur 15 2 3 5 H E I J L K G F ➢ Exercice 1 : Terminer les 3 dessins en perspective des 3 pavés suivants : ➢ Exercice 2 : Voici la représentation en perspective cavalière d'un pavé EFGHIJKL avec EHLI en face avant (mesures non respectées). On va le représenter sur la page de gauche de 3 nouvelles manières, en respectant les longueurs données : HL = 2 cm EH = 5 cm HG = 3 cm 1. Représenter ce même pavé en choisissant EFGH comme face avant et FJKG comme face du dessus. Compléter d’abord le croquis  ci-dessous avec les noms des sommets et les mesures. 2. Représenter ce même pavé en choisissant HGKL comme face avant et GKJF comme face de droite. 3. Représenter ce même pavé en choisissant EFGH comme face avant et EFJI comme face du dessus. croquis  croquis  . croquis  . Cours de Mr JULES v2.8 Classe de Sixième Contrat 9 Page 6 sur 15 III. PATRONS DU PAVE DROIT ET DU CUBE. Quand on ouvre certaines boîtes en forme de pavé, on s'aperçoit qu'il y a des languettes pour tenir la boîte fermée et permettre un collage facile. Ces languettes ne sont pas des faces du pavé ! Si on enlève ces languettes, on peut déplier complètement la boîte et on obtient ce qu’on appelle le patron du pavé. Définition : Le patron d’un solide est une figure plane en 2 dimensions. Le patron permet de reconstruire, après pliage et collage, l’objet qui représente ce solide dans l'espace. ➢ Remarques :  Les languettes de collage ne font pas partie du patron !  Le point essentiel dans la confection (fabrication) uploads/s3/6eme-volumes-cours.pdf