Factorielle et binôme de Newton Cours Dé nition 1.  On note pour tout n ∈N∗, n

Factorielle et binôme de Newton Cours Dé nition 1.  On note pour tout n ∈N∗, n ! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n −1) × n ( factorielle n ) et l'on pose 0 ! = 1. On peut dé nir n ! par récurrence selon (n + 1)! = n ! × (n + 1). Rappel.  Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles (par exemple succès et échec). Un schéma de Bernoulli est une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Supposons que l'on répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Notons p la probabilité de succès à chaque épreuve. On obtient ainsi un schéma de Bernoulli de paramètres n et p que l'on peut représenter par un arbre. Dé nition 2.  Pour tout k ∈{0, 1, . . . , n}, le nombre de chemins fournissant k suc- cès sur les n répétitions est n k  ( k parmi n ). On peut démontrer que n k  = n ! k ! (n −k)! = n(n −1) . . . (n −k + 1) k ! . On peut aussi montrer que n k  représente le nombre de sous-ensembles de k éléments d'un ensemble ayant n éléments, ou encore le nombre de façons de choisir k éléments dans un ensemble ayant n éléments. On peut établir par récurrence que pour tout n ∈N et pour tous x, y ∈R (formule du binôme de Newton), (x + y)n = n 0  xn + n 1  xn−1y + · · · +  n n −1  xyn−1 + n n  yn = n X k=0 n k  xkyn−k = n 0  yn + n 1  xyn−1 + · · · +  n n −1  xn−1y + n n  xn = n X k=0 n k  xn−kyk. Les nombres n k  sont encore appelés coe cients binomiaux. Ils véri ent les propriétés suivantes : a) pour tous k, n ∈N tels que k ⩽n,  n n −k  = n k  ; b) n 0  = n n  = 1, n 1  =  n n −1  = n, n 2  =  n n −2  = n(n −1) 2 ; c) pour tous k, n ∈N tels que k ⩽n −1, n k  +  n k + 1  = n + 1 k + 1  (formule du triangle de Pascal). Pour calculer n k  pour de petites valeurs de k et n, on peut utiliser le triangle de Pascal : aaa k n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Notation.  Soit p, q ∈N tels que p ⩽q et up, up+1, . . . , uq−1, uq des nombres. On note q Y i=p ui = up × up+1 × · · · × uq−1 × uq. Par exemple, n ! = n Y i=1 i, e Pn i=1 ui = n Y i=1 eui et si u1, . . . , un > 0, ln n Y i=1 ui ! = n X i=1 ln ui. Application 1 : linéarisation.  À l'aide du binôme de Newton et de la formule d'Euler, pour tout entier n ≥2, on peut transformer cosn(x) et sinn(x) en sommes de termes de la forme cos(kx) et sin(kx), k ∈N∗. Exemple : par la formule d'Euler, sin3(x)= eix −e−ix 2i  3 . Donc, grâce au binôme, sin3(x) = 1 −8i  (eix)3 + 3(eix)2(−e−ix) + 3(eix)(−e−ix)2 + (−e−ix)3 = −1 8i e3ix −3eix + 3e−ix −e−3ix = −1 8i  2i sin(3x) −3 × 2i sin(x)  = −1 4 sin(3x) + 3 4 sin(x). Application 2 : antilinéarisation.  À l'aide du binôme de Newton et de la formule de De Moivre, pour tout entier n ≥2, on peut transformer cos(nx) et sin(nx) en sommes de termes de la forme cosk(x) sinl(x), k, l ∈N. Exemple : on a cos(3x) = ℜe ei(3x) et sin(3x) = ℑm ei(3x) . Or, par la formule de De Moivre et le binôme de Newton, e3ix = eix 3 = (cos x + i sin x) 3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = cos3 x −3 cos x sin2 x  + i 3 cos2 x sin x −sin3 x  . D'où, en prenant partie réelle et partie imaginaire, cos(3x) = cos3 x −3 cos x sin2 x = cos3 x −3 cos x(1 −cos2 x) = 4 cos3 x −3 cos x, sin(3x) = 3 cos2 x sin x −sin3 x = 3(1 −sin2 x) sin x −sin3 x = 3 sin x −4 sin3 x. Factorielle et binôme de Newton Exercices Exercice 1 (Factorielle) 1. Donner la valeur de n ! pour n ∈{0, 1, 2, . . . , 7}. 2. Calculer 50 ! 46 !. 3. Montrer que pour n ⩾10, n ! ⩾9 ! × 10n−9. Établir en utilisant la même méthode une minoration similaire de n ! pour n ⩾100. 4. Montrer que (2n)! n ! est un entier pour tout n ∈N et le calculer pour n ∈{1, 2, 3, 4}. 5. Simpli er (2n + 3)! (2n + 1)!, (n + 1)! (n −2)! + n ! (n −1)!, (n −1)! n ! − n ! (n + 1)!. 6. Montrer que pour tout n ∈N∗, n Y k=1 (2k) = 2n n ! et n Y k=0 (2k + 1) = (2n + 1)! 2n n ! . 7. Montrer que pour tout n ∈N∗, n X k=1 1 k ! ⩽ n X k=1 1 2k−1 < 2. 8. Trouver le nombre de façons d'ordonner n objets distincts, c'est-à-dire trouver le nombre de permutations de n éléments. 9. Trouver le nombre de façons de choisir des suites ordonnées de k objets distincts choisis parmi n objets distincts. Exercice 2 (Formule du binôme de Newton) 1. Calculer 5 2  , 50 2  , 50 49  . 2. Développer (a + b)6, (2x −1)5. 3. Soit P une fonction dé nie sur R par P(x) = x4 + 2x3 −1. Calculer P(x + 1). 4. Déterminer les coe cients de a4b2c3 et a4b3c3 dans le développement de (a−b+2c)9. 5. Linéariser cos6 x. En déduire une primitive de x 7→cos6 x. 6. Écrire cos(5x) sous la forme P(cos x) où P est une fonction polynomiale à détermi- ner. 7. Utiliser la formule du binôme de Newton pour montrer que 1.0110 ≈1.105. Trouver de même une valeur approchée de 0.998 à 10−3 près. 8. En considérant la fonction f : x 7→(1 + x)n, calculer les sommes suivantes : S1 = n X k=0 n k  , S2 = n X k=0 (−1)k n k  , S3 = n X k=0 k n k  , S4 = n X k=0 1 k + 1 n k  . Pour les insatiables... Exercice 3 (Factorielle et formule du binôme de Newton) 1. On suppose que u0 = 1 et que pour tout n ∈N∗, un = −n un−1. Exprimer un en fonction de n. 2. À l'aide de l'identité (x + 1)2n = (x + 1)n(x + 1)n, montrer que n X k=0 n k 2 = 2n n  . 3. En écrivant k p  = k + 1 p + 1  −  k p + 1  , obtenir la valeur de la somme q X k=p k p  pour tous p, q ∈N tels que p ⩽q. Application.  Soit n ∈N. (a) Calculer les sommes n X k=1 k 1  (pour n ⩾1) et n X k=2 k 2  (pour n ⩾2). (b) En déduire les valeurs des sommes n X k=0 k et n X k=0 k(k −1), puis n X k=0 k2. Exercice 4 (Quelques probabilités) Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x1, . . . , xn. On rappelle que la loi de probabilité de X est la donnée des nombres pk = P{X = xk}, 1 ⩽k ⩽n et que son espérance et sa variance sont respectivement données par E(X) = n X k=1 pkxk, V(X) = E  (X −E(X))2 = n X k=1 pk[xk −E(X)]2. Une autre expression de la variance est V(X) = E X2 −  E(X) 2 avec E X2 = n X k=1 pkx2 k. 1. Loi uniforme discrète Soit n ∈N∗. On considère une variable uploads/s3/ mathematique-appliquee-cours-31.pdf

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