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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr CALCULS NUMÉRIQUES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr CALCULS NUMÉRIQUES Fractions ! " + $ " = ! + $ " ! " −$ " = ! −$ " ! $ × ) * = ! × ) $ × * ! $ : ) * = ! $ × * ) Puissances !! = ! × ! × ! × … × ! avec - facteurs ! !" = ! !# = 1 0! = 0 1! = 1 Les puissances de 10 10! = 10 × 10 × 10 × … × 10 = 1000… 0 10$! = 0,00 … 01 avec - facteurs 10 avec - zéros avec - zéros La notation scientifique : 7,328 x 105 Nombre compris entre 1 et 10 (10 exclu) x une puissance de 10 ARITHMÉTIQUE Divisibilité Un nombre entier est divisible : - par 2, si son chiffre des unités est pair, - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, - par 10, si son chiffre des unités est 0, - par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Nombres premiers, nombres premiers entre eux Un nombre est premier s’il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Décomposition en facteurs premiers : 20 = 2 x 2 x 5 est une décomposition du nombre 20 en produits de facteurs premiers. En effet, chaque facteur de la décomposition est un nombre premier. Propriété : Tout nombre non premier peut se décomposer en produits de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près. Définition : On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. On dit que !$" = ! " est l’inverse de a. De façon générale : !$! = ! "! Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr CALCUL LITTÉRAL Distributivité 1(! + $) = 1! + 1$ 1(! −$) = 1! −1$ (! + $)1 = !1 + $1 (! −$)1 = !1 −$1 Double distributivité Identité remarquable (! + $)(! −$) = !% −$% Équations Exemples : Résoudre l’équation : 3(5 + 4) = −(5 + 5) + 2 35 + 12 = −5 −5 + 2 35 + 5 = −12 −5 + 2 45 = −15 5 = #!$ % FONCTIONS Notations 9 est appelée une fonction. C’est une « machine » mathématique qui, à un nombre donné, fait correspondre un autre nombre. Nombre de départ Nombre correspondant ! f x 5x – x2 Résoudre l’équation : (45 + 6)(3 −75) = 0 Si un produit de facteur est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. 4x + 6 = 0 ou 3 – 7x = 0 4x = – 6 –7x = –3 5 = – & % 5 = #' #( 5 = – ' ) 5 = ' ( < = =– 3 2; 3 7? Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr On note : f : x 5x – x2 ou f (x) = 5x – x2 Images et antécédents Si f (1) = 4, on dit que : - l’image de 1 par la fonction f est 4. - un antécédent de 4 par f est 1. Fonctions affines a et b étant deux nombres fixés x ⟼ a x + b est appelée fonction affine x ⟼ a x est appelée fonction linéaire x ⟼ b est appelée fonction constante Une fonction linéaire est une fonction affine où b = 0. Propriétés : 1) Toute fonction affine est représentée par une droite. 2) Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine. 3) Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l’axe des abscisses. La droite (d) représentant la fonction f définie par f(x) = ax + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l’origine b. PROPORTIONNALITÉ Pourcentages Propriétés : - Augmenter un nombre de A % revient à le multiplier par 1 + - !... - Diminuer un nombre de A % revient à le multiplier par 1 − - !... Ratio Propriétés : - On dit que deux nombres a et b sont dans le ratio 2 : 3, si " ) = / '. - On dit que trois nombres a, b et c sont dans le ratio 2 : 3 : 7, si " ) = / ' = 0 (. Dans la pratique, on a : « a et b sont dans le ratio 2 : 3 » signifie que « " / = ) ' ». ! Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr PROBABILITÉS La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime « la chance qu’a un évènement de se produire ». En cas d’équiprobabilité (chaque issue a autant de chance de se produire) : Propriété : La probabilité d’un évènement B est C(B) = -12/345 7"855945 :";13"/<45 à > -12/34 7"855945 ?1?"< L'événement contraire de B, noté B̅ , est l'ensemble de toutes les issues n'appartenant pas à B. On a : C(B̅ ) = 1 −C(B) STATISTIQUES Moyenne pondérée m = Médiane Pour déterminer une médiane, il faut ordonner la série. La médiane partage la série en deux groupes de même effectif. Exemple 1 : 3 10 12 12 12 13 13 14 14 15 5 données 5 données méd = (12 + 13) : 2 = 12,5 Exemple 2 : 9 10 10 11 12 13 13 14 15 4 données 4 données méd = 12 Étendue L’étendue est la différence entre la plus grande valeur de la série et la plus petite. Exemple : (données de l’exemple 1 ci-dessus) : Étendue = 15 − 3 = 12 ANGLES ET TRIANGLES SEMBLABLES Angles alternes-internes Si deux droites sont parallèles alors les angles alternes-internes reposant sur ces droites sont égaux. 1× 4 +1× 6 + 4 ×18+ 2 × 7 + 4 ×17 + 2 ×12 + 4 ×12 + 2 ×18 1+1+ 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 272 20 = 13,6 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Si deux angles alternes-internes sont égaux alors les droites sur lesquelles ils reposent sont parallèles. Angles correspondants Si deux droites sont parallèles alors les angles correspondants reposant sur ces droites sont égaux. Si deux angles correspondants sont égaux alors les droites sur lesquelles ils reposent sont parallèles. Triangles semblables On appelle triangles semblables des triangles qui ont des angles deux à deux égaux. Propriété : Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre. La propriété réciproque est également vraie. THÉORÈME DE PYTHAGORE L’égalité de Pythagore : Un triangle rectangle est un triangle dont le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Théorème de Pythagore Réciproque du théorème de Pythagore Si un triangle ABC est rectangle en A, Si dans un triangle ABC, on a BC2 = AB2 + AC2, alors BC2 = AB2 + AC2. alors ce triangle est rectangle en A. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr THÉORÈME DE THALÈS Théorème de Thalès Dans un triangle ABC, où B’Î[AB] et C’Î[AC] Dans un triangle ABC, où B’Î(AB) et C’Î(AC) si (B’C’)//(BC) si (B’C’)//(BC) alors >@" >@ = >A" >A = @"A" @A alors >@" >@ = >A" >A = @"A" @A Comment retenir le théorème de Thalès ? ABC et AB’C’ sont deux triangles en situation de Thalès ; ils ont un sommet commun A, et deux côtés parallèles (B’C’) et (BC). Un triangle est un « agrandissement » de l’autre. On dit que les deux triangles sont semblables. Ils ont donc des côtés deux à deux proportionnels. Le petit triangle AB’C’ Le grand triangle ABC 1ers côtés 2èmes côtés 3èmes côtés Réciproque du théorème de Thalès Si les points A, B et B’ sont alignés dans le même ordre que les points A, C et C’ et >@" >@ = >A" >A , alors (B’C’)//(BC). AB' AB = AC' AC = B'C' BC C’ B’ A B C A B’ B C’ C C’ B’ A B C Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr TRIGONOMÉTRIE TRANSFORMATIONS Symétrie axiale M et M’ sont symétriques par rapport à la droite (d) signifie que : - [MM’] est perpendiculaire à (d), - M et M’ sont égale distance de (d). Dans ce cas, (d) est la médiatrice de [MM’] Deux figures symétriques par symétrie axiale se superposent par un pliage le long de l’axe de symétrie. Symétrie centrale M et M’ sont symétriques par rapport au point O signifie que : - M, O et M’ sont alignés, - MO = OM’. Dans ce cas, O est le milieu de [MM’]. Deux figures symétriques par uploads/S4/ 19-formulaire-3-e 1 .pdf