Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Asie 2010. Enseignement spéciﬁque EXERCICE 1 (4 points) (commun à tous les cand

Asie 2010. Enseignement spéciﬁque EXERCICE 1 (4 points) (commun à tous les candidats) Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. À chaque question, une seule des trois réponses notée a, b ou c est exacte. On demande au candidat d’indiquer sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justiﬁcation n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou une absence de réponses n’enlèvent pas de point. x y z A B C K D O E F G H I J Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ! O, − → i , − → j , − → k " , on considère les points : A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(1, 2, 0), D(1, 0, 1), E(1, 1, 1), F(1, 2, 1), G(0, 0, 1), H(0, 1, 1), I(0, 2, 1), J(0, 1, 0), K(0, 2, 0) comme indiqués sur le ﬁgure ci-contre : Question 1. Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. Question 2. Le point M tel que 2− − → MO −− − → MA + − − → MC = − → 0 est : Réponse a : le point K. Réponse b : le point I. Réponse c : le point J. Question 3. Le produit scalaire − − → AH.− → FC est égal à : Réponse a : 1. Réponse b : −1. Réponse c : 2. Question 4. Les points B, C, I, H : Réponse a : sont non coplanaires. Réponse b : forment un rectangle. Réponse c : forment un carré. Question 5. Une représentation paramétrique de paramètre t de la droite (KE) est : Réponse a : ⎧ ⎨ ⎩ x = t y = 2 + t z = t . Réponse b : ⎧ ⎨ ⎩ x = 3 + 4t y = t z = 4t . Réponse c : ⎧ ⎨ ⎩ x = 1 −t y = 1 + t z = 1 −t . Question 6. Une équation cartésienne du plan (GBK) est : Réponse a : 2x + 2y −z −2 = 0. Réponse b : x + y −3 = 0. Réponse c : x + y + 2z = 2. Question 7. Le projeté orthogonal du point C sur le plan (ADH) est : Réponse a : le point A. Réponse b : le point H. Réponse c : le point J. Question 8. Le volume du tétraèdre HJKB est égal à : Réponse a : 1 2. Réponse b : 1 6. Réponse c : 1 3. http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. Asie 2010. Enseignement spéciﬁque EXERCICE 1 : corrigé Question 1. Réponse a) Question 2. Réponse c) Question 3. Réponse b) Question 4. Réponse b) Question 5. Réponse c) Question 6. Réponse c) Question 7. Réponse c) Question 8. Réponse b) Explication 1. GB = ! 12 + 12 + (−1)2 = √ 3 et BI = ! (−1)2 + 12 + 12 = √ 3. Donc le triangle GBI est isocèle en B. La bonne réponse est la réponse a). On note que GI = 2 de sorte que le triangle GBI n’est pas équilatéral. On note aussi que GB2 + BI2 = 6 ̸= 4 = GI2 et donc le triangle GBI n’est pas rectangle en B. Explication 2. 2− − → MO −− − → MA + − − → MC = − → 0 ⇔2− − → MO + − − → AM + − − → MC = − → 0 ⇔2− − → MO + − → AC = − → 0 ⇔− → AC = 2− − → OM ⇔− − → OM = 1 2 − → AC ⇔− − → OM = 1 2 − → OK ⇔− − → OM = − → OJ ⇔M = J. Donc, la bonne réponse est la réponse c). Explication 3. − − → AH.− → FC = (0 −1)(1 −1) + (1 −0)(2 −2) + (1 −0)(0 −1) = −1. La bonne réponse est la réponse b). Explication 4. − → BC a pour coordonnées (0, 1, 0) de même que le vecteur − → HI. Par suite, les vecteurs − → BC et − → HI sont égaux et donc le quadrilatère BCIH est un parallélogramme. La réponse a) est fausse. Ensuite, HI = 1 et BH = √ 2. Donc le quadrilatère BCIH n’est pas un carré et la réponse c) est fausse. On en déduit que la réponse b) est vraie ce qui est eﬀectivement le cas car − → BC.− → BH = 0 × (−1) + 1 × 0 + 0 × 1 = 0. Explication 5. La droite (KE) est dirigée par le vecteur − → KE de coordonnées (1, −1, 1). Donc seule la représentation paramétrique de la réponse c) est possible. Plus précisément si t = 0 dans la représentation paramétrique c), on obtient le point de coordonnées (1, 1, 1) c’est-à- dire le point E et si t = 1, on obtient le point de coordonnées (0, 2, 0) c’est-à-dire le point K. La bonne réponse est donc la réponse c). Explication 6. Les coordonnées du point G ne vériﬁent ni l’équation de la réponse a) ni l’équation de la réponse b). Donc la bonne réponse est la réponse c). On note que les coordonnées des points B, G et K vériﬁent eﬀectivement l’équation x + y + 2z = 2 ce qui conﬁrme le résultat. Explication 7. Puisque les vecteurs − − → AD et − → JH ont tous deux pour coordonnées (0, 0, 1), ces vecteurs sont égaux et donc le quadrilatère AJHD est un parallélogramme. En particulier, le point J appartient au plan (ADH). Puisque AJ2 + CJ2 = 2 + 2 = 4 = AJ2, le triangle AJC est rectangle en J ou encore la droite (JC) est orthogonale à la droite (AJ). La droite (JH) est perpendiculaire au plan (AJC) et donc est orthogonale à toute droite de ce plan. En particulier, la droite (JC) est orthogonale à la droite (JH). La droite (CJ) est donc orthogonale aux droites (JA) et (JH) qui sont deux droites sécantes du plan (ADH). Donc, la droite (CJ) est perpendiculaire au plan (ADH). Puisque le point J appartient au plan (ADH), le point J est le projeté orthogonal du point C sur le plan (ADH). La bonne réponse est la réponse c). Explication 8. L’aire du triangle JKB est la moitié de l’aire du carré BCKJ et est donc égale à 1 2. Puisque la droite (JH) est perpendiculaire au plan (BJK), le volume du tétraèdre HJBK est http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. 1 3 × aire de (BJK) × HJ = 1 3 × 1 2 × 1 = 1 6. La bonne réponse est la réponse b). http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. uploads/S4/ 2010-asie-exo1.pdf