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Théorème de Bernoulli Pour les articles homonymes, voir Loi de Bernoulli. Obser

Théorème de Bernoulli Pour les articles homonymes, voir Loi de Bernoulli. Observations à l'aide d'un tube de Venturi illustrant le théorème de Bernoulli Le théorème de Bernoulli, qui a été établi en 1738 par Daniel Bernoulli, est la formulation mathématique du principe de Bernoulli qui énonce que dans le flux d'un fluide homogène et incompressible soumis uniquement aux forces de pression et de pesanteur, une accélération se produit simultanément avec la diminution de la pression. Dans un flux de fluide sans viscosité et donc dans lequel une différence de pression est la seule force d'accélération, la vitesse est équivalente à celle donnée par les lois du mouvement de Newton. Il est très commun que l'effet de Bernoulli soit cité pour affirmer qu'un changement de vitesse cause un changement de pression ; cependant le principe de Bernoulli ne fait pas ce rapport et ce n'est pas le cas. Il a posé les bases de la dynamique des fluides et, d'une façon plus générale, de la mécanique des fluides. Initialement utilisé pour des fluides en circulation dans une conduite, il a trouvé un important champ d'application en aérodynamique (portance). Sommaire  1 Formulation usuelle  2 Interprétation  3 Formulations étendues  4 Démonstrations  5 Variante adimensionnelle de l'équation de Bernoulli  6 Applications  7 Approche historique  8 Notes et références  9 Voir aussi o 9.1 Articles connexes Formulation usuelle[modifier | modifier le code] Pour un écoulement1 :  de fluide parfait (les effets visqueux sont négligeables, tout comme les pertes de charge),  incompressible (la masse volumique reste constante),  en régime stationnaire  et en négligeant les transferts d'énergie sous forme de chaleur,  on vérifie que sur une même ligne de courant, la quantité de Bernoulli se conserve2, soit : où : p est la pression en un point (en Pa ou N/m²) ; ρ est la masse volumique en un point (en kg/m³) ; v est la vitesse du fluide en un point (en m/s) ; g est l'accélération de la pesanteur (en N/kg ou m/s²) ; z est l'altitude du point considéré (en m). La constante dépend de la ligne de courant considérée. Si de plus l'écoulement est irrotationnel (le rotationnel de la vitesse du fluide est nul, ce qui implique un écoulement non tourbillonnaire et un champ de vitesse dérivant d'un potentiel), la quantité de Bernoulli se conserve dans l'intégralité du fluide. La constante est donc la même partout dans le fluide mais dépend des caractéristiques de ce dernier, de l'écoulement, etc. La constante intervenant dans le second membre de l'équation n'est pas universelle mais propre à l'écoulement, il s'agit d'une constante le long de tout le domaine fluide (écoulement irrotationnel), appelée charge. Interprétation[modifier | modifier le code] Cette équation traduit en fait le bilan de l'énergie le long d'une ligne de courant :  est la densité volumique d'énergie cinétique (énergie cinétique par unité de volume, m étant la masse du volume V de fluide) ;  est la densité volumique d'énergie potentielle de gravité ;  est la densité volumique d'énergie due au travail des forces de pression. La loi de bilan s'écrit donc soit ce qui amène à l'équation de Bernoulli en divisant cette égalité par ρ. On remarque que, formulée ainsi, la constante n'est plus la charge, mais la pression totale, et que chaque terme est bien homogène à une pression. Formulations étendues[modifier | modifier le code] Il existe d'autres formulations du théorème de Bernoulli applicables dans des contextes plus généraux.  Pour des fluides compressibles : lorsque les effets de compressibilité dans un fluide ne sont plus négligeables (vitesse des particules de fluide comparable à la vitesse du son dans le fluide), il devient nécessaire d'apporter une correction au terme caractérisant l'énergie potentielle élastique du fluide. Dans le cas idéal d'un gaz parfait et d'un processus adiabatique, on a : 3 où γ est l’indice adiabatique défini comme le rapport des capacités calorifiques du fluide : Cp/Cv.  Formulation thermodynamique : 4 où h désigne l'enthalpie spécifique (i.e. par unité de masse). h = u+p/ρ, où u désigne l'énergie interne spécifique du fluide.  échange d'énergie : Dans le cas d'un écoulement d'un point A vers un point B avec échange d'énergie (présence d'une pompe ou d'une turbine), l'expression devient : où QV représente le débit volumique du fluide (en mètres cubes par seconde) et P représente la puissance (en watts) de la machine. On a P > 0 dans le cas d'une pompe (la puissance est reçue par le fluide) et P < 0 dans le cas d'une turbine (la puissance est fournie par le fluide). Démonstrations[modifier | modifier le code] [afficher]Équation de Bernoulli pour les fluides incompressibles [afficher]Équation de Bernoulli pour les fluides compressibles Variante adimensionnelle de l'équation de Bernoulli[modifier | modifier le code] Dans un écoulement où la variation d'énergie potentielle peut être négligée, si l'on écrit l’équation de Bernoulli en deux points le long d’une ligne de courant (le deuxième point étant loin du corps), on obtient : . D'où l'on peut tirer : . En divisant par la pression dynamique de l'écoulement , on obtient : . Si à présent on pose : Cp étant le coefficient de pression et Cv étant le coefficient de vitesse, l'équation de Bernoulli se ramène à : Cette égalité très simple constitue la variante adimensionnelle de l’équation de Bernoulli. Contrairement à ce que la relative complexité de leur libellé peut laisser penser, les coefficients adimensionnels de pression et de vitesse Cp et Cv sont extrêmement intuitifs et représentent bien les sous ou surpressions et les sous ou survitesses qui intéressent les mécaniciens des fluides ; ceci explique pourquoi ils apparaissent dans tous les résultats d’essais en souffleries5. La variante adimensionnelle de l'équation de Bernoulli s'applique en chaque point d'un écoulement (en dehors de la couche limite), donc en un seul point, ce qui peut sembler contradictoire avec le fait que l'équation classique de Bernoulli met en relation les caractéristiques de deux points sur la même ligne de courant. L'explication de cette rupture apparente de logique est que les Cp et Cv intègren t dans leur libellé la référence à certaines caractéristiques des points à l'infini amont (suffisamment à l'écart du corps). Il n'y a donc là qu'une libéralité apparente. uploads/S4/ bernoulli.pdf