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ESPACE ET GÉOMÉTRIE 15 Médiatrice d’un segment Connaissances et compétences abo

ESPACE ET GÉOMÉTRIE 15 Médiatrice d’un segment Connaissances et compétences abordées § Connaître, reconnaître la médiatrice d’un segment, ainsi que sa caractérisation. § Savoir se servir de la déﬁnition de la médiatrice d’un seg- ment ou de sa caractérisation pour la tracer à l’aide des instruments adéquats. ACTIVITÉ 1 PATCHWORK Objectifs : découverte de la médiatrice et de ses propriétés caractéristiques. Phases à partir de la ﬁche PATCHWORK. 1) La première partie consiste à suivre un programme de construction aﬁn d’obtenir une ﬁgure comportant notamment une médiatrice d’un segment. 2) La seconde fait analyser la ﬁgure obtenue : l’objectif est de vériﬁer que tous les points tracés sur la médiatrice du segment rABs sont équidistants des extrémités de ce segment. Source : mathsavesnes, académie de Lille. DÉBAT 2 Mot valise Un mot-valise est un mot formé par l’accolement du début d’un mot et la ﬁn d’un autre mot. À l’heure actuelle, on invente régulièrement des mots-valise : Brexit pour Britain et exit, Twictée pour Twitter et dictée, pourriel pour poubelle et courriel. . . Les maths n’échappent par à la règle et le mot médiatrice est un mot- valise qui vient de médiane (dans un triangle, droite joignant un sommet au milieu du côté opposé) et bissectrice (droite coupant un angle en deux angles égaux). Il a été formé en 1923, donc très récemment. 1 Trace écrite 1. Déﬁniton DÉFINITION : Médiatrice d’un segment La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Pour construire la médiatrice d’un segment, on peut utiliser la règle graduée (pour trouver le milieu du segment) et l’équerre (pour tracer la perpendiculaire à ce segment), on peut aussi utiliser le compas. MÉTHODE 1 Construction de la médiatrice d’un segment à la règle et au compas Pour tracer la médiatrice du segment [AB], on choisit un écartement au compas et on trace deux arcs de cercle à partir de A et de B de part et d’autre du segment [AB]. Puis on trace la droite passant par les deux points formés par l’intersection des arcs de cercle. Exercice d’application b A b B Correction b A b B b A b B 2. Propriétés PROPRIÉTÉ Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors ce point est situé à égale distance des extrémités de ce segment : on dit qu’il est équidistant des extrémités du segment. Si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice du segment. Exemple b A b B b I b F b M 2 cm 2 cm Correction ‚ Les points F et I appartiennent à la médiatrice de rABs, ils sont donc équidistants des points A et B : on a FA “ FB et IA “ IB. ‚ Le point M est tel que MA “ MB “ 2 cm. Il est donc situé quelque part sur la médiatrice de rABs. 2 6ème - Chapitre 15: Médiatrice d’un segment N. DAVAL Entraînement Médiatrice 1 Dans le dessin ci-dessous, 1) Quelle semble être la médiatrice du segment rABs? rDEs? rGHs? rAHs? 2) Quelle semble être le segment dont la médiatrice est pd2q? pd3q? pd4q? pd8q? 2 Construire la médiatrice de chaque segment en utilisant le quadrillage, puis coder chaque ﬁgure. 3 1) Placer quatre points A, B, C, D sur une feuille. 2) Tracer la médiatrice du segment rABs à la règle gra- duée et à l’équerre. 3) Tracer la médiatrice du segment rCDs à la règle gra- duée et au compas. 4) Coder la ﬁgure obtenue. 4 Tracer un triangle NOE sur votre feuille de cahier. 1) Construire les médiatrices des trois côtés du triangle en utilisant la règle et l’équerre puis coder la ﬁgure. 2) Que constate-t-on? 3) Tracer le cercle passant par N, O et E. 5 Tracer un triangle ALI sur votre feuille de cahier. 1) Construire les médiatrices des trois côtés du triangle en utilisant la règle et le compas puis coder la ﬁgure. 2) Que constate-t-on? 3) Tracer le cercle circonscrit au triangle ALI. Propriétés de la médiatrice 6 On considère la ﬁgure ci-dessous : J I E b L b S 1) Que peut-on dire de la droite pLSq pour le segment rEIs? Justiﬁer. 2) Que peut-on dire des longueurs ES et SI ? Justiﬁer. 3) Quelle est la nature du triangle ESI ? Justiﬁer. 7 On considère le cerf-volant ci-dessous : N O U R 1) Justiﬁer pourquoi le point U appartient à la média- trice de rORs. 2) Que peut-on dire des longueurs NO et NR? Justiﬁer. 3) En déduire que les droites pNUq et pORq sont per- pendiculaires. Source : Les cahiers Sesamath 6e. Magnard-Sésamath 2017. N. DAVAL 6ème - Chapitre 15: Médiatrice d’un segment 3 Récréation, énigmes Le syndicat d’initiative de la ville de Bellerive organise une chasse au trésor. Voici ci-dessous les indices recueillis par les concurrents. 1) Indice 1 : Le trésor se trouve à plus de 500 mètres de la ligne à haute tension L. 2) Indice 2 : Le trésor est à plus de 800 mètres de l’école E. 3) Indice 3 : Le trésor se trouve à moins de 300 mètres de la bibliothèque B. 4) Indice 4 : Le trésor est à égale distance du stade S et de la piscine P. Sur le schéma ci-dessous ﬁgure le plan des lieux de la chasse au trésor à l’échelle 1 10 000. Remplir le tableau suivant : Distance dans la réalité en m 500 800 300 Distance sur le schéma en cm 1 Mettre en évidence la partie du plan dans laquelle se trouve le trésor. Tous les tracés nécessaires à cette construction seront laissés apparents. L + + + + B E S P 4 6ème - Chapitre 15: Médiatrice d’un segment N. DAVAL PATCHWORK Prénom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Première partie : construction de la ﬁgure. Construire la ﬁgure ci-contre en suivant ce programme de construction : Tracer un segment rABs de longueur 8 cm. Placer le milieu O de ce segment. Tracer la droite pdq perpendiculaire à rABs passant par O. Placer sur la droite pdq les points I, J, K, L et M distants de 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm et 10 cm du point O. Joindre ces points aux extrémités du segment rABs. Terminer la construction par symétrie par rapport à l’axe pABq. Deuxième partie : analyse de la ﬁgure. 1) Que représente la droite pdq pour le segment rABs? Comment s’appelle cette droite? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Mesurer à la règle au mm près les longueurs suivantes sur la ﬁgure : IA “ JA “ KA “ LA “ MA “ IB “ JB “ KB “ LB “ MB “ 3) Compléter la phrase suivante : Les points appartenant à la médiatrice d’un segment semblent être . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . des extrémités de ce segment. 4) Repasser les traits au stylo puis colorier la ﬁgure. PATCHWORK Prénom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Première partie : construction de la ﬁgure. Construire la ﬁgure ci-contre en suivant ce programme de construction : Tracer un segment rABs de longueur 8 cm. Placer le milieu O de ce segment. Tracer la droite pdq perpendiculaire à rABs passant par O. Placer sur la droite pdq les points I, J, K, L et M distants de 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm et 10 cm du point O. Joindre ces points aux extrémités du segment rABs. Terminer la construction par symétrie par rapport à l’axe pABq. Deuxième partie : analyse de la ﬁgure. 1) Que représente la droite pdq pour le segment rABs? Comment s’appelle cette droite? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/S4/ 6-ch15-mediatrice.pdf