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Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation st

Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE PA MAP, Département de Mathématiques Appliquées Nizar TOUZI SEANCE 1: 14 septembre 2011 Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Outline 1 Absence d’arbitrage et propriétés des options 2 Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance 3 Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire 4 Premières propriétés du mouvement brownien Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Figure: Wall Street, New York Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Figure: London Stock Exchange, Londres Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Figure: Salles de marchés Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Figure: Evolution du NASDAQ Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Outline 1 Absence d’arbitrage et propriétés des options 2 Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance 3 Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire 4 Premières propriétés du mouvement brownien Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Les options • Le but de cette partie est de présenter les propriétés que doivent satisfaire les prix des options indépendamment du modèle d’évolution des actifs ﬁnanciers. • Une option d’achat (call) donne à son détenteur le droit d’acheter un certain actif à un prix d’exercice (strike) K > 0 ﬁxé à la signature du contrat • Une option de vente (put) donne à son détenteur le droit de vendre un certain actif à un prix d’exercice (strike) K > 0 ﬁxé à la signature du contrat • Ces options sont dites “européennes” si le droit d’achat ou de vente ne peut être exercé qu’à une maturité donnée • Les options “américaines” peuvent être exercées à tout moment avant la maturité. Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Notations • Le paiement terminal d’un call européen est (ST −K)+ • La valeur intrinsèque d’un call européen est (St −K)+, son prix à la date t ≤T sera noté c(t, T, St, K) , en particulier c(T, T, ST, K) = (ST −K)+ • Le paiement terminal d’un put européen est (K −ST)+ • La valeur intrinsèque d’un put européen est (K −St)+, son prix à la date t ≤T sera noté p(t, T, St, K) , en particulier p(T, T, ST, K) = (K −ST)+ • Une option (call ou put) est dite dans la monnaie si sa valeur intrinsèque ≥0, en dehors de la monnaie si sa valeur intrinsèque ≤0, à la monnaie si sa valeur intrinsèque = 0. = ⇒Un call est dans la monnaie si St > K = ⇒Un put est dans la monnaie si St < K Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Principe d’absence d’arbitrage • Considérons deux produits dérivés (actifs contingents) déﬁnis par les paiements A et B à une même maturité, et de prix a et b. Si A ≥B dans tous les états du monde, alors a ≥b. • Sinon : acheter le produit dérivé qui délivre le paiement A, et vendre celui qui délivre le paiement B = ⇒on encaisserait immédiatement la somme b −a > 0, et on obtiendrait le paiement positif A −B à la maturité ! NA Soit X le gain généré par un portefeuille de coût initial nul. Si X ≥0 dans tous les états du monde, alors X ≡0. Exemple Le modèle binomial est sans arbitrage ssi d < R0 < u Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Premières relations • On notera les prix du call et du put américain par C(t, T, St, K) et P(t, T, St, K) • Une option américaine vaut toujours plus que l’option européenne correspondante, et plus que sa valeur intrinsèque C(t, T, .) ≥ max{c(t, T, .), c(t, t, .)} P(t, T, .) ≥ max{p(t, T, .), p(t, t, .)} Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Parité call-put, eﬀet de la maturité • Si l’actif sous-jacent ne verse pas de dividendes, on a p (t, T, St, K) = c (t, T, St, K) −St + KBt(T) où Bt(T) est le prix à la date t de l’obligation zéro-coupon (ZC) de maturité T, i.e. actif contingent de paiement 1 en T Il suﬃt de remarquer que : (K −ST)+ = (ST −K)+ −ST + K • T1 ≥T2 = ⇒ C(t, T1, .) ≥C(t, T2, .) et P(t, T1, .) ≥P(t, T2, .) Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Monotonie, sensibilité et convexité par rapport au strike • Le prix d’un call européen ou américain est décroissant en K • Le prix d’un put européen ou américain est croissant en K • Sensibilité au strike : −Bt(T) (∗) ≤c (t, T, St, K2) −c (t, T, St, K1) K2 −K1 ≤0 (∗) vendre un call européen de strike K1, acheter un call européen de strike K2 ainsi qu’une quantité K2 −K1 d’obligations ZC = ⇒ paiement en T : −(ST −K1)+ + (ST −K2)+ + (K2 −K1) ≥0. NA implique que le coût initial de cette stratégie est ≥0 • Les prix d’un call ou d’un put européen ou américain est convexe en K : (cas du call US) acheter un λ ∈[0, 1] call de strike K1 et (1 −λ) put de strike K2, et vendre un call de strike λK1 + (1 −λ)K2. Si toutes les options sont exercées à une date u ∈[t, T], on obtient un paiement ≥0. NA implique que le coût initial de cette stratégie est ≤0 Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Bornes sur les prix des options d’achat • Borne supérieure c(., St, .) ≤C(., St, .) ≤St En eﬀet : C(t, T, St, K) ≤C(t, T, St, 0) ≤St (égalité en absence de dividendes) • borne inférieure : si l’actif sous-jacent ne verse pas de dividendes, C(t, T, St, K) ≥ c(t, T, St, K) ≥(St −KBt(T))+ En eﬀet : acheter un call Euro et K obligations ZC, vendre une unité de l’actif sous-jacent = ⇒paiement terminal ≥0. NA... Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Exercice immédiat des call américain Proposition Suposons que Bt(T) < 1. En l’absence de dividendes, il n’est jamais optimal d’exercer l’option américaine avant la maturité T En eﬀet : C(t, T, St, K) ≥c(t, T, St, K) ≥St −KBt(T) > St −K • Ce résultat n’est plus vrai en présence de dividendes • Même en absence de dividendes, ce résultat n’est pas vrai pour les options de ventes : supposons que Su < K −KBu(T) à une date u ∈[t, T]. Alors, P(u, T, Su, K) ≥ K −Su > KBu(T) (∗) ≥p(u, T, Su, K) (∗) ⇐ = K ≥paiement terminal du put Nizar TOUZI Calcul stochastique & ﬁnance Absence d’arbitrage et propriétés des options Introduction à la modélisation stochastique en ﬁnance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Premières propriétés du mouvement brownien Autres exemples d’actifs contingents : contrat forward • Contrat uploads/S4/ calcul-stochastique-finance-l1.pdf