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Cours 13 - Champs des Vecteurs Vitesse des Points d’un Solide Lycée Fermat Toul

Cours 13 - Champs des Vecteurs Vitesse des Points d’un Solide Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 1 sur 8 Champs des Vecteurs Vitesse des Points d’un Solide x  y  z  Système réel Modèle S1 S2 S0 S3 S0 x  z  O S1 S2 S3 S0 A B C y  Exemple de Système Mécanique MICROMOTEUR Un solide indéformable est un ensemble de points matériels dont on peut calculer, pour chacun, la vitesse et l’accélération en appliquant le calcul direct. Toutefois la cinématique d’un solide en mouvement possède des particularités qui permettent une étude simplifiée du mouvement global sans avoir à étudier chaque point individuellement. L’objectif de ce cours est de mettre en évidence ces particularités. 1 - DEFINITION On associe au bâti 0 le repère R0(O, x , y , z ) et on associe au vilebrequin 1 le repère R1(O, 1 x , 1 y , 1 z ). On s’intéresse ici au mouvement de rotation du vilebrequin 1 autour de l’axe (O, x ) par rapport au bâti 0. x  y  z  1 2 0 3 A B θ1 = ( y , 1 y ) = ( z , 1 z ). 1 y  1 z  Pour 2 points A et B quelconques appartenant au solide 1 supposé indéformable, on montre que : R / 1 R / 1 B R / 1 A AB V V       . Démonstration En utilisant la formule de dérivation vectorielle pour le vecteur AB , on a : AB AB dt d AB dt d R / R R R 1 1     Or les point A et B étant liés au solide 1, le vecteur AB est invariant par rapport à R1. Sa dérivée temporelle dans le repère R1 est donc nulle : 0 AB dt d 1 R   . Cours 13 - Champs des Vecteurs Vitesse des Points d’un Solide Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 2 sur 8 (1) Il en existe un 2ème qui sera présenté aussi dans ce cours. A vous ensuite de trouver celui qui vous conviendra le mieux ! (2) il est notamment anticommutatif ! (3) on les appelle aussi mouvements simples En utilisant la relation de Chasles on obtient :   AB OA dt d OB dt d OB AO dt d R / R R R R 1       Or par définition : R OA dt d ) R / A ( V  et R OB dt d ) R / B ( V  On obtient donc : R / R1 AB ) R / B ( V ) R / A ( V     R / 1 R / R1    pour un solide indéformable (équivalence repère/solide) et si les points A et B ont une réalité physique sur le solide 1 alors R / 1 A V ) R / A ( V   et R / 1 B V ) R / B ( V   ce qui permet de retrouver l’expression R / 1 R / 1 B R / 1 A AB V V       En généralisant on retiendra que pour 2 points A et B quelconques appartenant à un même un solide indéformable S, on a : R / S R / S B R / S A AB V V       Attention il faut bien maitriser la notion d’appartenance d’un point à un solide ! Pour cela il faut être vigilant aux notions d’appartenance cinématique, de point géométrique, de point lié et de point coïncidant !!! Petit moyen mnémotechnique(1) pour la relation R / S R / S B R / S A AB V V       : Il est indispensable de ne pas faire d’erreur sur cette relation. Pour la retenir on peut utiliser le moyen mnémotechnique suivant : R / S R / S B R / S A AB V V       Dans le 3ème terme de la relation, on retrouve :  En 1ère position le point apparu en 1ère position dans le début de la relation.  En 2ème position le point apparu en 2ème position dans le début de la relation.  En 3ème position ne peut alors se trouver que le vecteur R / S  . Compte tenu des propriétés du produit vectoriel(2), on peut également écrire pour tout point E et D  S la relation sous cette forme : ED V V R / S R / S E R / S D       mais le moyen mnémotechnique précédent n’est plus valable … Attention de ne jamais confondre le champ des vecteurs vitesse des points d’un solide avec le champ des vecteurs accélération des points d’un solide qui s’écrit :   0 R / S R / S R / S R / S B R / S A dt d AB AB              De toute façon, il est inutile de s’encombrer avec cette relation puisqu’elle ne s’utilise jamais … 2 - MOUVEMENTS ELEMENTAIRES Pour aborder une étude cinématique, on s’intéresse systématiquement à la nature des mouvements présents dans le système. Par conséquent bien connaitre les mouvements élémentaires(3) permet de bien comprendre les cinématiques des systèmes mais cela est aussi très utile pour appréhender les champs des vecteurs vitesse d’un solide. Cours 13 - Champs des Vecteurs Vitesse des Points d’un Solide Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 3 sur 8 2.1. Mouvement de rotation autour d’un axe fixe Dans le cas d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe d’un solide S par rapport à un repère R, il existe au moins deux points du solide S qui restent fixes dans le mouvement par rapport à R. Ces deux points caractérisent l’axe de rotation Δ de S/R. L’axe Δ est l’axe instantané de rotation de S/R. O x  0 1 L’axe instantané de rotation du vilebrequin 1 par rapport au bâti 0 est l’axe (O, x ). Par conséquent tous les points P de l’axe (O, x ) restent fixes au cours du mouvement : ) x , O ( P    → 0 V R / S P   Visualisation expérimentale du champ de vecteur vitesse du vilebrequin (amplifié 10x sur la figure) par analyse d'images obtenues d’une caméra rapide (600000 images par secondes) grâce à une technique de corrélation d'images. Exemple : le vilebrequin 1 du moteur est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe par rapport au solide 0.  Une liaison pivot permet d’obtenir ce mouvement.  Le champ des vitesses s’écrit ici pour tout point A du vilebrequin : R / S R / S A AO V     .  Les trajectoires de tous les points du vilebrequin sont des cercles centrés sur l’axe Δ. Dans de très nombreux cas, un solide peut suivre un mouvement de rotation uniforme ou un mouvement de rotation uniformément varié. Exemple d’une loi de mouvement en trapèze de vitesse. Phase II : mouvement uniforme : la vitesse est la même au cours du mouvement. Graphiquement, on observe une fonction constante (segment de droite horizontal). Phase I et Phase III : mouvement uniformément varié : l’accélération est la même au cours du mouvement. Graphiquement, on observe une portion de droite (segment de droite incliné) t Position ) t (  t Vitesse ) t (   Phase I Phase II Phase III t Accélération ) t (   0   Cours 13 - Champs des Vecteurs Vitesse des Points d’un Solide Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 4 sur 8 (4) Dans ce cas, seul le calcul direct permet de déterminer le vecteur vitesse… 2.2. Mouvements de translation Dans le cas d’un mouvement de translation d’un solide S par rapport à un repère R, le solide ne change pas d’orientation par rapport à R. La position de S/R est définie par un paramètre dimensionnel (exemple λ) variable au cours du temps. Dans le cas du moteur on constate que le piston 3 du moteur est en mouvement de translation suivant l’axe (D,y ). D y  0 3 A B  Une liaison glissière permet d’obtenir ce mouvement.  Tous les vecteurs vitesse des points du piston sont égaux au cours du mouvement et le champ des vitesses s’écrit ici : R / S B R / S A V V    A et B  (S) (4). Les trajectoires de tous les points sont identiques et superposables. Si ces trajectoires sont des droites, on parle de mouvement de TRANSLATION RECTILIGNE. 1 0 uploads/S4/ cours-13.pdf