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GEOMETRIE 7 - 8 - 9 1ère partie : de la géométrie perceptive à la géométrie thé

GEOMETRIE 7 - 8 - 9 1ère partie : de la géométrie perceptive à la géométrie théorique Table des matières I. Définitions et propriétés II. Activités dans le cadre de la géométrie perceptive et/ou instrumentée III. Activités pour illustrer le passage de la géométrie perceptive à la géométrie théorique IV. Activités dans le cadre de la géométrie théorique IV.1. De l’observation à la déduction IV.2. Ilots déductifs V. Quelques activités de recherche Remarque : Seuls les dessins des pages 12, 13, 17 et 20 ( et ceux des pages 14 et 15 dans une certaine mesure) peuvent être considérés comme des dessins, où la perception et les mesures permettent d’affirmer des choses. Tous les autres sont des croquis, faits à main levée ou non, pour lesquels on ne peut affirmer que ce qui est codé sur le croquis ou ce qui est indiqué explicitement dans l’énoncé. _________________________________ Géométrie 7-8-9 1ère partie 1 7 7e 7e 7e 7e 7e 8e I. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS Les définitions et propriétés indiquées ci-dessous sont celles qui figurent dans le livret Géométrie. Des éléments de justification sont proposés pour les propriétés, mais ce ne sont pas les seuls possibles. 1. Droites parallèles et perpendiculaires Propriétés en acte Dr1. Par un point extérieur à une droite on peut mener une et une seule parallèle à cette droite. Dr2. Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Dr3. Par un point on peut mener une et une seule perpendiculaire à une droite. Propriétés en acte et déclaratives Dr4. Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles. Vérification expérimentale Dr5. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Vérification expérimentale Dr6. Si deux droites sont parallèles, alors elles forment avec toute sécante des angles correspondants, alternes-internes et alternes-externes isométriques. Pour les angles correspondants on peut constater qu’ils s’obtiennent l’un de l’autre par une translation. Pour les angles alternes-internes et alternes-externes on peut utiliser l’isométrie des angles opposés par le sommet et des angles correspondants. Dr7. Deux droites coupées par une sécante sont parallèles si deux angles alternes-internes ou alternes-externes sont isométriques ou si deux angles correspondants sont isométriques. Vérification expérimentale 8e 8e 8e 2. Distances Propriété en acte et déclarative Di1. Inégalité triangulaire : Si A, B et C sont trois points du plan, alors AC ≤ AB + BC Vérification expérimentale : le plus court chemin d’un point à un autre est la ligne droite ! Di2. Si A, B et C sont trois points du plan, et si AC = AB + BC, alors B appartient au segment [AC ]. Vérification expérimentale Di3. La longueur du segment de perpendiculaire compris entre un point et une droite est plus courte que celles de tous les segments joignant ce point à un point quelconque de la droite. Preuve : avec l’inégalité triangulaire et le symétrique du point par rapport à la droite. _________________________________ Géométrie 7-8-9 1ère partie 2 7e 3. Angles An1. Les angles opposés par le sommet sont isométriques. Preuve : les deux angles ont le même supplément. An2. Si une sécante coupe deux droites parallèles, alors les angles correspondants, alternes- internes et alternes- externes sont isométriques. Pour les angles correspondants on peut constater qu’ils s’obtiennent l’un de l’autre par une translation. Pour les angles alternes-internes et alternes-externes on peut utiliser l’isométrie des angles opposés par le sommet et des angles correspondants. 7e 8e 7e 4. Lieux de points 4.1. Cercle Propriétés en acte et déclaratives Ce1. Le cercle est le lieu des points qui se trouvent à une distance donnée appelée rayon d’un point donné nommé centre. Ce2. La droite tangente au cercle en un point est perpendiculaire au rayon passant par ce point. Preuve : on s’intéresse à l’intersection du cercle avec des droites toutes de même direction. La tangente est une position limite entre les droites sécantes avec le cercle comme (MN) et les droites sans point commun avec le cercle. On peut voir [OT] comme la limite de la hauteur [OH] quand les sommets M et N du triangle isocèle OMN tendent vers T. la hauteur [OH] tend vers [OT] et reste perpendiculaire à la droite tangente. 4.2. Médiatrice Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Propriétés en acte et déclaratives Me1. La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie du segment. vérification expérimentale Me2. Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités du segment explication avec les propriétés de la symétrie en 7e démonstration éventuellement en 9e par les cas d’isométrie des triangles Me3. Si un point est équidistant des deux extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. vérification expérimentale démonstration éventuellement en 9e par les cas d’isométrie des triangles _________________________________ Géométrie 7-8-9 1ère partie 3 O H T M N Remarque : la hauteur peut être définie suivant l’usage qu’on en fait, comme une droite ou comme un segment de droite. 7e 8e 8e 4.3. Bissectrice Définition: La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles isométriques. Propriétés en acte et déclaratives Bi1. La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de l’angle. vérification expérimentale Bi2. Si un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des deux côtés de l’angle. vérification expérimentale en 8e démonstration éventuellement en 9e par les cas d’isométrie des triangles Bi3. Si un point est équidistant des deux côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de l’angle. Propriété admise en 8e démonstration éventuellement en 9e par les cas d’isométrie des triangles et le théorème de Pythagore _________________________________ Géométrie 7-8-9 1ère partie 4 7e 7e 8e 7e 7e 7e 7e 7e 7e 7e 5. Triangles Propriétés en acte et déclaratives Tr1. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Preuve : tracer une parallèle à un côté passant par le sommet opposé et utiliser l’isométrie des angles alternes-internes Tr2. Les médiatrices d’un triangle sont concourantes. Le point d’intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. Preuve : utiliser l’équidistance des points de la médiatrice d’un segment aux deux extrémités du segment Tr3. Les bissectrices d’un triangle sont concourantes. Le point d’intersection est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Preuve : utiliser l’équidistance des points de la bissectrice d’un angle des deux côtés de l’angle 5.1. Triangles particuliers Triangle isocèle Définition: Un triangle isocèle est un triangle qui possède au moins deux côtés isométriques. Tr4. Si un triangle est isocèle, alors il possède 1 axe de symétrie. Justification par pliage ou preuve en utilisant les propriétés de la médiatrice et de la symétrie axiale Tr5. Si un triangle possède un axe de symétrie, alors il est isocèle. preuve en utilisant les propriétés de la médiatrice et de la symétrie axiale Tr6. Si un triangle est isocèle, alors il possède deux angles isométriques (adjacents à sa base). Preuve : par les propriétés de la symétrie axiale en 7e par les cas d’isométrie des triangles en 9e Tr7. Si un triangle possède deux angles isométriques, alors il est isocèle. Propriété admise en 7e Preuve éventuellement en 9e en utilisant les cas d’isométrie des triangles Triangle équilatéral Définition : Un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois côtés isométriques. Tr8. Si un triangle est équilatéral, alors il possède 3 axes de symétrie. Vérification par pliage ou utilisation des propriétés du triangle isocèle Tr9. Si un triangle est équilatéral, alors il possède trois angles isométriques. Preuve: utilisation des propriétés du triangle isocèle Tr10. Si un triangle possède trois angles isométriques, alors il est équilatéral. Preuve: utilisation des propriétés du triangle isocèle Triangle rectangle _________________________________ Géométrie 7-8-9 1ère partie 5 9e 5.2. Cas d’isométrie et de similitude des triangles – théorème de Thalès Définitions - Deux triangles sont dits isométriques s’ils ont leurs côtés et leurs angles isométriques deux à deux. - Deux triangles sont dits semblables s’ils ont leurs côtés proportionnels deux à deux et leurs angles isométriques deux à deux. Tr16. Cas d’isométrie des triangles Vérification expérimentale 1) Si deux triangles ont trois côtés de même longueur, alors ils sont isométriques. 2) Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, alors ils sont isométriques. 3) Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, alors ils sont isométriques. Tr17. Cas de similitude des triangles Vérification expérimentale 1) Si deux triangles ont leurs angles isométriques deux à deux, alors ils sont semblables. 2) Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels deux à deux, alors ils sont semblables. Tr18. Théorème de Thalès Deux droites sécantes coupées par deux parallèles déterminent deux triangles dont les longueurs des côtés sont proportionnelles. Conséquence de la 1ère caractérisation des triangles semblables Tr19. Réciproque du théorème de Thalès Si deux droites déterminent sur deux sécantes des segments proportionnels, alors ces deux droites sont parallèles. Conséquence de la 2ème caractérisation des uploads/S4/ geometrie.pdf