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I) Les intervalles de Թ 1) Définitions a) Représentation graphique de Թ L’ensem

I) Les intervalles de Թ 1) Définitions a) Représentation graphique de Թ L’ensemble des nombres réels est habituellement représenté sous la forme d’une droite graduée : à chaque point de la droite est associé un unique nombre réel appelé abscisse de ce point Exemple Les abscisses des points A, B , C , D , E et F sont respectivement : xA = 0 ; xB = 1 ; xC = 4 ; xD = -2 ; xE = 2,46 et xF = - √3 b) Les intervalles de Թ Un intervalle de Թ est représenté par un segment, une demi-droite ou par la droite toute entière. Chaque intervalle est associé à une inégalité ou un encadrement concernant les abscisses des points de la droite appartenant à ce segment ou cette demi-droite. Soit A et B deux points de la droite d’abscisses respectives a et b ( a < b ) et soit M un point de la droite d’abscisse x On obtient donc les différents intervalles suivants : 2) Tableau récapitulatif des neufs intervalles de Թ Les neuf types d’intervalles sont dans le tableau ci-dessous: M Nombres x Représentation graphique Notation intervalle M ∊ ሾAB ሿ ࢇ ൑ ࢞ ൑ ࢈ Intervalle fermé borné [ a ; b ] M ∊ ሿAB ሾ ࢇ ൏ ࢞ ൏ ࢈ Intervalle ouvert borné ] a ; b [ M ∊ ሾAB ሾ ࢇ ൑ ࢞ ൏ ࢈ Intervalle semi-ouvert à droite, borné [ a ; b [ M ∊ ሿAB ሿ ࢇ ൏ ࢞ ൑ ࢈ Intervalle semi-ouvert à gauche, borné ] a ; b ] M ∊ ሾABሻ ࢞ ൒ ࢇ Intervalle fermé infini [ a ; +∞ [ M ∊ ሿABሻ ࢞ ൐ ࢇ Intervalle ouvert infini ] a ; +∞ [ M ∊ ሾBAሻ ࢞ ൑ ࢈ Intervalle fermé infini ] - ∞ ; b ] M ∊ ሿBAሻ ࢞ ൏ ࢈ Intervalle ouvert infini ] - ∞ ; b [ M ∊ ሺdሻ ࢞ ∈ ࡾ ] - ∞ ; +∞[ Remarques :  On dit qu’un intervalle est fermé si ses extrémités lui appartiennent. Par exemple :[ 6 ; 12 ] ou [ -2 ; + ∞ [ sont des intervalles fermés.  On dit qu’un intervalle est ouvert si ses extrémités ne lui appartiennent pas Par exemple :] -4 ; 7 [ ou ] - ∞ ; 3 [ sont des intervalles ouverts.  L’ensemble Թ est aussi un intervalle, il peut se noter] -∞ ; + ∞[  L’ensemble ne contenant aucun réel est aussi un intervalle, c’est l’intervalle vide, il se note Ø  Le symbole ∞ se lit infini. Dans le paragraphe suivant, nous allons voir plus en détail ces neufs intervalles de Թ 3) Les neufs intervalles de Թ (explication détaillée) a) Les intervalles fermés bornés Soit ࢇ et ࢈ deux nombres réels. On appelle intervalle fermé borné de ࢇ à ࢈, et on note ሾࢇ; ࢈ሿ, le sous-ensemble de Թ contenant tous les nombres réels compris entre ࢇ et ࢈ ; les nombres ࢇ et ࢈ sont eux-mêmes éléments de ሾࢇ; ࢈ሿ. ሾࢇ; ࢈ሿൌሼ࢞∈Թ, ࢇ൑࢞൑࢈ሽ Remarques. Les nombres ࢇ et ࢈ sont appelés bornes de l’intervalle ሾࢇ; ࢈ሿ. Si ࢇ൐࢈, on adopte la convention : ሾࢇ; ࢈ሿൌ∅ (ensemble vide). Si ࢇൌ࢈, alors ሾࢇ; ࢈ሿൌሼࢇሽ. L’intervalle dans ce cas est réduit à un singleton. Si ࢇ൏࢈, alors ሾࢇ; ࢈ሿ contient une infinité de nombres, mais sa longueur est finie et vaut ࢈െࢇ. On peut en donner la représentation géométrique suivante : b) Les intervalles ouverts bornés Soit ࢇ et ࢈ deux nombres réels. On appelle intervalle ouvert borné de ࢇ à ࢈, et on note ሿࢇ; ࢈ሾ, le sous-ensemble de Թ contenant tous les nombres réels compris entre ࢇ et ࢈ ; les nombres ࢇ et ࢈ ne sont eux-mêmes pas éléments de ሿࢇ; ࢈ሾ. ሿࢇ; ࢈ሾൌሼ࢞∈Թ, ࢇ൏࢞൏࢈ሽ Remarques : Les nombres ࢇ et ࢈ sont appelés bornes de l’intervalleሿࢇ; ࢈ሾ. Si ࢇ൒࢈, on adopte la convention : ሿࢇ; ࢈ሾൌ∅ (ensemble vide). Si ࢇ൏࢈, alors ሿࢇ; ࢈ሾ contient une infinité de nombres, mais sa longueur est finie et vaut ࢈െࢇ. On peut en donner la représentation géométrique suivante : c) Les intervalles semi-ouverts à droite bornés Soit ࢇ et ࢈ deux nombres réels. On appelle intervalle semi-ouvert à droite borné de ࢇ à ࢈, et on note ሾࢇ; ࢈ሾ, le sous-ensemble de Թ contenant tous les nombres réels compris entre ࢇ et ࢈ ; le nombre ࢇ est un élément de ሾࢇ; ࢈ሾ mais ࢈ n’est pas un élément de ሾࢇ; ࢈ሾ. ሾࢇ; ࢈ሾൌሼ࢞∈Թ, ࢇ൑࢞൏࢈ሽ Remarques : Les nombres ࢇ et ࢈ sont appelés bornes de l’intervalle ሾࢇ; ࢈ሾ. Si ࢇ൒࢈, on adopte la convention : ሾࢇ; ࢈ሾൌ∅ (ensemble vide). Si ࢇ൏࢈, alors ሾࢇ; ࢈ሾ contient une infinité de nombres, mais sa longueur est finie et vaut ࢈െࢇ. On peut en donner la représentation géométrique suivante : d) Les intervalles semi-ouverts à gauche bornés Soit ࢇ et ࢈ deux nombres réels. On appelle intervalle semi-ouvert à gauche borné de ࢇ à ࢈, et on note ሿࢇ; ࢈ሿ, le sous-ensemble de Թ contenant tous les nombres réels compris entre ࢇ et ࢈ ; le nombre ࢇ n’est pas un élément de ሿࢇ; ࢈ሿ , mais ࢈ est un élément de ሿࢇ; ࢈ሿ. ሿࢇ; ࢈ሿൌሼ࢞∈Թ, ࢇ൏࢞൑࢈ሽ Remarques : Les nombres ࢇ et ࢈ sont appelés bornes de l’intervalle ሿࢇ; ࢈ሾ. Si ࢇ൒࢈, on adopte la convention : ሿࢇ; ࢈ሾൌ∅ (ensemble vide). Si ࢇ൏࢈, alors ሿࢇ; ࢈ሾ contient une infinité de nombres, mais sa longueur est finie et vaut ࢈െࢇ. On peut en donner la représentation géométrique suivante : e) Les intervalles ouverts infinis. Cette catégorie contient elle-même deux types d’intervalles •Soit ࢇ un nombre réel. On appelle intervalle ouvert infini de ࢇ à ൅∞, et on note ሿࢇ; ൅∞ሾ, le sous-ensemble de Թ contenant tous les nombres réels strictement supérieurs à ࢇ ; le nombre ࢇ n’est pas un élément de ሿࢇ; ൅∞ሾ . ሿࢇ; ൅∞ሾൌሼ࢞∈Թ, ࢇ൏࢞ሽ Remarques : Le nombre ࢇ et le symbole ൅∞ sont appelés bornes de l’intervalle ሿࢇ; ൅∞ሾ. Il contient une infinité de nombres. Sa longueur est infinie. On peut en donner la représentation géométrique suivante : •Soit ࢇ un nombre réel. On appelle intervalle ouvert infini de െ∞ à ࢇ, et on note ሿെ∞; ࢇሾ, le sous-ensemble de Թ contenant tous les nombres réels strictement inférieurs à ࢇ ; le nombre ࢇ n’est pas un élément de ሿെ∞; ࢇሾ. ሿെ∞; ࢇሾൌሼ࢞∈Թ, ࢞൏ࢇሽ Remarques : Le nombre ࢇ et le symbole െ∞ sont appelés bornes de l’intervalle ሿെ∞; ࢇሾ. Il contient une infinité de nombres. Sa longueur est infinie. On peut en donner la représentation géométrique suivante : f) Les intervalles fermés infinis. Cette catégorie contient elle- même deux types d’intervalles •Soit ࢇ un nombre réel. On appelle intervalle fermé infini de ࢇ à ൅∞, et on note ሾࢇ; ൅∞ሾ, le sous-ensemble de Թ contenant tous les nombres réels supérieurs à ࢇ ; le nombre ࢇ est un élément de ሾࢇ; ൅∞ሾ . ሾࢇ; ൅∞ሾൌሼ࢞∈Թ, ࢇ൑࢞ሽ Remarques : Le nombre ࢇ et le symbole ൅∞ sont appelés bornes de l’intervalle ሾࢇ; ൅∞ሾ. On observe un crochet ouvert à la borne ൅∞. Ce n’est pas une erreur. Ce fait peut être considéré comme une convention au niveau de la classe de seconde. Il faut attendre une étude plus approfondie des nombres réels pour avoir une explication cohérente de ce fait. Il contient une infinité de nombres. Sa longueur est infinie. On peut en donner la représentation géométrique suivante : •Soit ࢇ un nombre réel. On appelle intervalle fermé infini de െ∞ à ࢇ, et on note ሿെ∞; ࢇሿ, le sous-ensemble de Թ contenant tous les nombres réels inférieurs à ࢇ ; le nombre ࢇ est un élément de ሿെ∞; ࢇሿ. ሿെ∞; ࢇሿൌሼ࢞∈Թ, ࢞൑ࢇሽ Remarques : Le nombre ࢇ et le symbole െ∞ sont appelés bornes de l’intervalle ሿെ∞; ࢇሿ. On observe un crochet ouvert à la borne ൅∞. Ce n’est pas une erreur. Ce fait peut être considéré comme une convention au niveau de la classe de seconde. Il faut attendre une étude plus approfondie des nombres réels pour avoir une explication cohérente de ce fait. Il contient une infinité de nombres. Sa longueur est infinie. On peut en donner la représentation géométrique suivante : L’intervalle ሿെ∞; ൅∞ሾ. C’est une autre façon de noter Թ. Remarques : Les symboles െ∞ et ൅∞ sont appelés bornes de l’intervalle ሿെ∞; ൅∞ ሾ. Il est de longueur infinie. Pour des raisons élucidées à des niveaux supérieurs à celui de la classe de seconde, cet intervalle est à la fois ouvert et fermé !! II) Intersections et réunions d’intervalles 1) Intersections a) Définition Soit ࡱ et ࡲ deux ensembles quelconques. On appelle intersection de ࡱ et ࡲ, et on note ࡱ∩ࡲ, l’ensemble des éléments qui sont communs à ࡱ et ࡲ. En d’autres termes, ࢞ est un élément de ࡱ∩ࡲ si et seulement si ࢞ est un élément de ࡱ ET ࢞ est un élément de ࡲ. Remarques : ࡱ∩ࡲൌࡲ∩ࡱ. ࡱ∩∅ൌ∅. ࡱ∩Թ ൌࡱ. Si ܫ et ܬ sont des intervalles fermés bornés, alors uploads/S4/ ch-3-l-x27-ordre-dans-r-1ere-partie.pdf