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CHAPITRE 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE I -Séries statistiques à un caractère 1-Voca

CHAPITRE 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE I -Séries statistiques à un caractère 1-Vocabulaire de la statistique Population : ensemble des éléments sur lequel porte l’étude. Unité statistique ou individu : chaque élément de la population. Caractère : propriété commune à tous les individus de la population. Modalité : chaque valeur prise par le caractère. Le caractère peut être : - Qualitatif : s’il n’est pas une valeur numérique - Quantitatif discret : s’il est numérique et il ne peut prendre que des valeurs isolées. - Quantitatif continu : s’il est numérique et il peut prendre un nombre infini (ou un nombre élevé) de valeurs dans IR. Dans ce cas, pour faire l’étude on regroupe ces valeurs en des intervalles disjoints de la forme   ; a b appelés classes. Pour chaque classe  ; a b , a est la borne inférieure et b la borne supérieure. Le nombre réel (b-a) est l’amplitude de la classe  ; a b . La quantité 2 a b  en est le centre. Effectif relatif à une modalité : le nombre d’individus de la population qui présente cette modalité. On note i n Effectif total : le nombre total des individus que la population contient. C’est la somme de tous les effectifs relatifs N et on a N = 1 p i i n   . Fréquence relative à une modalité : c’est le nombre réel positif noté i f et défini par : N i i n f  où i n est l’effectif de la modalité et N l’effectif total. En multipliant par 100 les fréquences i f on obtient les pourcentages i F avec i F = 100 N i n = 100 i f . Effectifs cumulés et fréquences cumulées Effectif cumulé croissant de rang i est la somme de tous les effectifs dont le rang est inférieur ou égal à i. Effectif cumulé décroissant de rang i est la somme de tous les effectifs dont le rang est supérieur ou égal à i. On définit de manière similaire les fréquences cumulées croissantes et les fréquences cumulées décroissantes. 2-Description des séries statistiques 2-1 Tableau statistique Sur une population, on étudie un caractère dont les valeurs (évolutions) sont représentées dans un tableau de la forme. Valeurs ou modalités i x 1 x 2 x … p x Effectifs i n 1 n 2 n … p n La série statistique de modalités i x est notée ( ; ) i i x n ou bien( ) x quand il n’y a pas de confusion. 2-2 Représentations graphiques 2-2-1 Caractère discret : diagramme à bâtons, polygone des effectifs, polygones cumulatifs 2-2-2 Caractère continu : Histogramme, diagramme à bandes… 3-Caractéristiques d’une série statistique 3-1-Carctéristiques de position 1-1Définitions Mode(s) : Valeur(s) de la variable ayant l’effectif le plus élevé. Médiane : Valeur du caractère qui partage la série statistique ordonnée en deux séries de même effectif. Les quartiles : Valeurs du caractère qui partage la série statistique ordonnée en quatre séries d’effectifs égaux. Il y a trois quartiles 1 Q , 2 Q et 3 Q . Remarque On définit de façon analogue les déciles (qui sont au nombre de 9) et les centiles (on a 99 centiles). Moyenne arithmétique : c’est le nombre noté x et qui est défini par 1 1 ( ) p i i i x n x N    avec 1 p i i N n   Remarque Dans le cas d’une série statistique à caractère continu i x est remplacé par le centre de la classe numéro i. 2-2 Propriétés Soit une série statistique( ; ) i i x n de moyenne arithmétique x .La série statistique ( ; ) i i y n telle que i i y ax b  ; 2 ( ; ) a b IR  a pour moyenne y ax b  . 3-2-Caractéristiques de dispersion 3-2-1Définitions Etendue : c’est l’écart entre la plus grande modalité et la plus petite. Ecart moyen absolu : c’est la quantité 1 1 p i i i n x x N    . Variance : la variance de la série statistique est le nombre réel positif ou nul noté ( ) V x et défini par : 2 1 1 ( ) ( ) p i i i V x n x x N     ou bien ( ) V x = 2 1 1 ( ) p i i i n x N         - 2 x . Ecart type : c’est le nombre réel positif ou nul, noté ( ) x  et défini par ( ) ( ) x V x   3-2-2 Propriétés Soit une série statistique( ; ) i i x n de variance ( ) V x . Si( ; ) i i y n est une série statistique telle que i i y ax b   2 ( ; ) a b IR  alors 2 ( ) ( ) V y a V x  et ( ) ( ) y a x    II- Séries statistiques à deux variables. 1-Dédinitions Nuages de points : Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on construit les points i M ( ; ) i i x y . L’ensemble des points ainsi obtenu est appelé nuage de points. Point moyen : C’est le point noté G( x ; y ) où 1 1 ( ) p i i i x n x N    et 1 1 p i i i y n y N    . 2-Ajustement affine d’un nuage de points 2-1 Méthode de Mayer Le nuage de n points est divisé en deux séries regroupant d’une part les 2 N premiers points et d’autre part les 2 N derniers points. On détermine ensuite les points moyens 1 1 1 G ( ; ) x y et 2 2 2 G ( ; ) x y dans les sous séries ainsi constituées. La droite 1 2 (G G ) est appelée droite de Mayer. Remarques 1- La droite 1 2 (G G )passe par le point moyen G( x ; y ) 2- Lorsque la série comporte un nombre impair de points, on met le point central ou bien dans la première sous série ou bien dans la deuxième sous série. 2-2 Méthode des moindres carrées Soit la série double( ; ) i i x y .On définit sur cette série : La covariance qui est le nombre réel notécov( ; ) x y et défini par cov( ; ) x y = 1 1 ( )( ) p i i i x x y y N     ou bien cov( ; ) x y = 1 1 ( ) p i i i x y N   - xy . Et le coefficient de corrélation linéaire qui est le nombre réel cov( ; ) ( ) ( ) x y r x y    . Remarques 1) r   1;1  2) Si r =+1 ou -1 alors les points du nuage sont exactement alignés 3) On admet que si 0,9 r  alors les points du nuage présentent un bon degré d’alignement et un ajustement affine est justifié. Droites de régression Droite de régression de y en x / ( ) y x D : y ax b   avec cov( ; ) ( ) x y a V x  et b y ax   . Droite de régression de x en y / ( ) x y D : ' ' x a y b   avec cov( ; ) ' ( ) x y a V y  et ' ' b x a y   . Remarques 1) Les droites / ( ) y x D et / ( ) x y D passent par le point moyen G( x ; y ). 2) On a 2 ' r aa  3-Critère d’alignement de 3 points Les points 1 1 1 M (x ;y ) 2 2 2 M (x ;y ) et 3 3 3 M (x ;y ) sont alignés si 3 1 2 1 2 1 3 1 y y y y x x x x      Remarque Si deux points sont déterminés et une des composants du troisième point est connue, on utilise cette relation pour calculer l’autre composante inconnue. TRAVAUX DIRIGES EXERCICE 1 Le relevé du nombre d’interventions par jour d’une équipe de réparation est donné par le tableau suivant Nombre de demandes 15 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 Nombre de jours 1 1 2 2 4 6 6 7 9 8 4 4 3 1 1 1-Effectuer la représentation à bâtons de cette série. 2-Donner le mode 3- Calculer la moyenne, la variance et l’écart type 4-On uploads/S4/ decision-statistique.pdf