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Représentation de l’information II-1 Les systèmes de numération : II-1.1 Numéra

Représentation de l’information II-1 Les systèmes de numération : II-1.1 Numération décimale : Ce système de numération, usuel dans la vie quotidienne, dispose de dix symboles (les chiffres) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. On travaille alors en base 10. Exemple : 7239 = 7.103 + 2.102 + 3.101 + 9.100 De manière générale, un nombre s’écrivant N = an-1...a1a0 (les ai représentent les n chiffres) dans une base B (on dispose de B symboles) s’écrit : N = a n-1 B n-1 + a n-2 B n-2 + ….. + a 1 B 1 + a 0 B 0 On note alors N = (an-1...a1a0)B. La base B est notée en indice, codée en décimal. II-1.2 Numération binaire : La numération en base deux (ou numération binaire ) utilise deux symboles 0 et 1. Cette base est très commode pour distinguer les deux états logiques fondamentaux. On écrit : (a n-1 a n-2 ... a 1 a 0) 2 = a n-1 . 2 n-1 + … + a 0 . 2 0 (expression de droite écrite dans la base 10 et ai ε {0, 1}). Exemple : (4)10 = 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 = (100)2 Un nombre à n chiffres en base deux distingue 2n états. Un état binaire est appelé bit (contraction de binary digit). Un bit prend les valeurs 0 ou 1. Les puissances successives de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...) sont appelées poids binaires. En général, le poids du bit de rang n est 2n (attention, on commence toujours au rang 0). Le bit de poids le plus fort est appelé MSB (Most Significant Bit). Le bit de poids le plus faible est appelé LSB (Less Significant Bit). II-1.3 Numération octale : Ce système utilise 8 symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Il n’est plus guère employé aujourd’hui, puisqu’il servait au codage des nombres dans les ordinateurs de première génération. (N)8 = an-1 … a0, (N)10 = an-1 8n-1 + an-2 8n-2 + … + a1 81 + a0 80 II-1.4 Numération hexadécimale : Le développement des systèmes microprogrammés (mini- et micro-ordinateurs) a favorisé l’utilisation de ce code. Il comporte 16 symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. (N)16 = an-1 … a0, (N)10 = an-1 16n-1 + an-2 16n-2 + … + a1 161 + a0 160 Un quartet, ou digit hexadécimal, évolue entre 0 et 15 (en base 10) soit 0 et F en hexadécimal. L’assemblage de 2 quartets forme un octet qui varie de 0 à 255 (en décimal). Pour indiquer la base 16, on peut la noter en indice suivant la manière générale. Mais dans la pratique on utilise une autre notation. On place le caractère $ (dollar) devant le nombre ou H derrière. Exemple : (AA)16 = AAH = $AA = A.161 +A.160 = 10.16+10.1 = (170)10 II-2 Changements de base – Conversions : II-2.1 Conversion décimal vers binaire : Il existe plusieurs moyens d’effectuer une telle conversion : · par soustractions successives des poids binaires dans la différence de l’étape précédente ; · par divisions successives par 2 du dividende de l’étape précédente. Les restes correspondants (du bas vers le haut) sont les bits consécutifs. C’est terminé au premier dividende nul (que l’on de compte pas). II-2.2 Conversion décimal vers hexadécimal : On reprend les deux méthodes précédentes avec des poids hexadécimaux ou en divisant par 16. II-2.3 Décomposition d’un nombre décimal en octal : Les mêmes principes s’appliquent aussi. II-2.4 Toutes les conversions vers le décimal : Dans tous les cas, il n’y a rien de particulier à ajouter. Le principe de conversion est directement attaché à la manière dont on écrit un nombre dans une base donnée (Cf. définition). (N)B = an-1.Bn-1 + … + a0.B0 où B est codé en décimal La conversion est réalisée automatiquement dans la mesure où le résultat est écrit directement dans la base dix. II-2.5 Les conversions directes (sans passer par le décimal) : Dans les bases usuelles (2, 8 et 16) utilisées dans les systèmes numériques, les conversions peuvent être réalisées par exploitation de propriétés particulières aux nombres de ces bases. II-2.5.1 Binaire vers hexadécimal : Un nombre hexadécimal est « découpable » en quartets facilement codables en binaire. Donc, pour convertir du binaire en hexadécimal, on divise le nombre binaire en « tranches de quatre » en partant de la droite. Chacun des « paquets » est ensuite converti en hexadécimal. Cette méthode revient à fractionner en décompositions successives. Exemple : (110101110001)2 = (1101 0111 0001)2 = D71H Explication : la mise en paquet revient à effectuer une série de factorisations partielles de la base de destination. Ici c'est 16 = 24 . Les résidus constituent les chiffres de la conversion. Dans l'exemple précédent, cela donne : (110101110001)2 = 1.211 + 1.210 + 0.29 + 1.28 + 0.27 + 1.26 + 1.25 + 1.24 + 0.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 = {1.23 +1.22 +0.21 +1.20 }.(24)2 +{0.23 +1.22 +1.21 +1.20 }.24 +{0.23 +0.22 +0.21 +1.20 } = 13.162 + 7.161 + 1.160 II-2.5.2 Hexadécimal vers binaire : C’est le processus directement inverse, on écrit chaque quartet sur 4 bits en complétant éventuellement avec des zéros. Exemple : BC34H = (1011[B] 1100[C] 0011[3] 0100[4])2 = (1011 1100 0011 0100)2 II-2.5.3 Binaire vers octal et inversement : On reprend les mêmes principes, sachant que 8 = 23 (en factorisant 8 = 23 ). II-3 Codage des nombres : Un code constitue une correspondance entre des symboles et des objets à désigner. Les codes du §I sont pondérés : dans une base de travail donnée, la valeur d’un rang donné est un multiple par la base de celle du rang inférieur. D’autres codes ne sont pas pondérés, c’est à dire que la position d’écriture ne correspond pas à un poids des autres. Ils ne permettent d’effectuer d’opérations arithmétiques. II-3.1 Codes pondérés : II-3.1.1 Code naturel : Le code binaire naturel et ses dérivés (octal et hexadécimal) répondent aux règles classiques de l’arithmétique des nombres positifs (on peut calculer). II-3.1.2 Code décimal codé binaire (DCB) : Dans ce codage (BCD, Binary Coded Decimal en anglais), chaque digit décimal est écrit en binaire puis tous sont juxtaposés. Cette représentation est commode pour traiter les nombres dans le mode de représentation le plus adapté à l’opérateur humain (lors d’un affichage par exemple). Exemple : 7239 = (0111 0010 0011 1001)DCB. = (1110001000111)2. N10 N2 N16 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F II-3.2 Codes non pondérés : II-3.2.1 Code cyclique ; code binaire réfléchi ou code Gray : Dans ce code, un seul bit change entre deux valeurs adjacentes. Il est employé dès que l’on doit représenter une évolution réelle des variables où une seule change à un instant (exemple dans les tableaux de Karnaugh). Code GRAY 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 II-3.2.2 Codes redondants ; détecteur et correcteurs d’erreurs (pour info) : Ces codes sont utilisés pour contrôler les transmissions. Ils permettent de détecter une erreur de bit lors d’une transmission et parfois même une correction de l’erreur. Pour l ’essentiel , ces codes ne sont pas pondérés. II-4 Extension aux codes non numériques : Pour manipuler d’autres éléments que des nombres, il est nécessaire de l es coder. Le plus connu de ces codes, et le plus utilisé en particulier dans le monde informatique, est le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange) présenté dans le Tableau . Table des caractères de contrôle (00 à 31) ASCII Caract. Signification ASCII Caract. Signification 00 NUL null, nul 16 DLE data link escape, échap. liaison données 01 SOH start of heading, début d’en-tête 17 DC1 device control 1, commande unité 1 02 STX start of text, début de texte 18 DC2 device control 2, commande unité 2 03 ETX end of text, fin de texte 19 DC3 device control 3, commande unité 3 04 EOT end of transmission, fin de transmission 20 DC4 device control 4, commande unité 4 05 ENQ enquiry, interrogation 21 NAK negative acknowledge, acc. récep. nég. 06 ACK acknowledge, accusé de réception 22 SYN synchronous idle, inactif synchronisé 07 BEL bell, sonnerie 23 ETB end of transmission block, fin tran. bloc 08 BS backspace, espacement arrière 24 CAN cancel, annuler 09 HT horizontal tabulation, tabulation horiz. 25 EM end of medium, fin du support 10 LF line feed, saut de ligne 26 SUB substitute, substitut 11 VT vertical tabulation, tabulation verticale 27 ESC escape, échappement 12 FF form feed, saut de page 28 FS file separator, séparateur de fichiers 13 CR carriage return, retour chariot 29 GS group separator, séparateur de groupes uploads/S4/ chapitre-2 3 .pdf